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Monoide und Morphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Fr 26.10.2018
Autor: heyho95

Aufgabe 1
Zeigen Sie für eine beliebige Menge X,dass(P(X),∪)und(P(X),∩)zwei isomorphe Monoide sind. Bestimmen Sie jeweils die neutralen Elemente und alle invertierbaren Elemente.


Aufgabe 2
Es seien (X,·) eine Halbgruppe und e ein Objekt mit $e [mm] \not\in [/mm] X$. Definieren Sie auf [mm] $X^{e}$ [/mm] =X ∪{e} eine Verknüpfung so, dass [mm] $X^{e}$ [/mm] ein Monoid mit neutralem Element e und die Inklusionsabbildung $X [mm] \to X^e$ [/mm] ein Halbgruppenmorphismus wird.Falls X schon ein Monoid mit neutralem Element E ist, hat dann [mm] X^e [/mm] zwei neutrale Elemente? Erklären Sie!








zu 1:
für Monoide sind ja Assoziativität und neutrales Element zu zeigen und für die Isomorphie, dass eine Abbildung von der einen Menge in die andere bijektiv ist, also injektiv und surjektiv?! Aber wie funktioniert das jetzt mit ∪ und ∩?

zu2:
[mm] X^{e} [/mm] müsste ja die Menge aller Abb. von e nach X sein, oder? So hatten wir es zumindest in der Vorlesung.
Zwei neutrale Elemente kann man nicht haben, da es laut Satz immer nur eins geben kann.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Monoide und Morphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Fr 26.10.2018
Autor: meili

Hallo heyho95,

und [willkommenmr]

> Aufgabe 1.
> Zeigen Sie für eine beliebige Menge
> X,dass(P(X),∪)und(P(X),∩)zwei isomorphe Monoide sind.
> Bestimmen Sie jeweils die neutralen Elemente und alle
> invertierbaren Elemente.
>  
> Aufgabe 2.
> Es seien (X,·) eine Halbgruppe und e ein Objekt mit [mm]e \not\in X[/mm].
> Definieren Sie auf [mm]X^{e}[/mm] =X ∪{e} eine Verknüpfung so,
> dass [mm]X^{e}[/mm] ein Monoid mit neutralem Element e und die
> Inklusionsabbildung [mm]X \to X^e[/mm] ein Halbgruppenmorphismus
> wird.Falls X schon ein Monoid mit neutralem Element E ist,
> hat dann [mm]X^e[/mm] zwei neutrale Elemente? Erklären Sie!
>  
>
>
>
>
>
> zu 1:
>  für Monoide sind ja Assoziativität und neutrales Element
> zu zeigen und für die Isomorphie, dass eine Abbildung von
> der einen Menge in die andere bijektiv ist, also injektiv
> und surjektiv?!

[ok]

> Aber wie funktioniert das jetzt mit ∪ und
> ∩?

P(X) ist die Potenzmenge von X. Sie enthält Teilmengen von X.
[mm] $\cup$ [/mm] (oder [mm] $\cap$) [/mm] ist die Verknüpfung, die untersucht werden soll, ob
damit P(X) ein Monoid ist.

Ist die Vereinigung (der Schnitt) von (Teil-)Mengen assoziativ?

Gibt es ein neutrales Element? D.h. gibt es eine Teilmenge $E [mm] \in [/mm] P(X)$
mit $A [mm] \cap [/mm] E = A$ für alle $A [mm] \in [/mm] P(X)$?
Gibt es eine Teilmenge $F [mm] \in [/mm] P(X)$ mit $A [mm] \cup [/mm] F = A$ für alle $A [mm] \in [/mm] P(X)$?

Gibt es einen bijektiven Monoidhomomorphismus $h: P(X) [mm] \to [/mm] P(X)$ mit
[mm] $\forall [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X, [mm] \forall [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] X: h(A [mm] \cap [/mm] B) = h(A) [mm] \cup [/mm] h(B)$ und $h(E) = F$

Invertierbare Elemente?

>  
> zu2:
>  [mm]X^{e}[/mm] müsste ja die Menge aller Abb. von e nach X sein,
> oder? So hatten wir es zumindest in der Vorlesung.

Nein, in der Aufgabe steht [mm] $X^e [/mm] = X [mm] \cup \{e\}$, [/mm] also die Vereinigung von X und [mm] $\{e\}$. [/mm]

> Zwei neutrale Elemente kann man nicht haben, da es laut
> Satz immer nur eins geben kann.

[ok]

Ist [mm] $e_X$ [/mm] das neutrale Element in $(X, [mm] \cdot)$, [/mm] so ist [mm] $e_X$ [/mm] nicht das neutrale Element in [mm] $(X^e, \cdot_{X^e})$, [/mm]  denn $e_Xe = [mm] ee_X [/mm] = [mm] e_X$ [/mm]
und nicht  $e_Xe = [mm] ee_X [/mm] = e$.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Monoide und Morphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Mo 29.10.2018
Autor: heyho95

Vielen Dank schonmal *meili für deine Antwort.
Jetzt ist mir schon einiges klarer, nur weiß ich nicht ganz so genau, wie ich den Beleg jetzt notieren soll? Sind die Belege schon genau genug?

1) seien A,B,C,E [mm] \subset [/mm] P(X) und x ein Element dieser Teilmengen

Asso.:wenn [mm] x\in A\cap(B \cap C)\gdw x\in [/mm] A [mm] \cap x\in( [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \cap(x\in [/mm] B [mm] \cap x\in C)\gdw (x\in [/mm] A [mm] \cap x\in B)\cap x\in [/mm] C [mm] \gdw x\in (A\cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C und (genau so beim "Schnitt")

Neutrales El.: es existiert ein E mit [mm] A\cap [/mm] E= [mm] E\cap [/mm] A=A wobei E=A bzw. bei [mm] F\cup [/mm] A=A ist F die leere Menge???

Monoidmorphismus: [mm] h(A\capB)=h(A [/mm] und B)= h(A) oder h(B)= [mm] h(A)\cup [/mm] h(B)
h(E)=F gilt, da h(E)=h({A})=???

inverse Elemente: z.z. [mm] A\cap A^{-1}=E, [/mm] bzw. [mm] B\cup B^{-1}=F, [/mm] dann komm ich aber nicht richtig weiter, außer dass [mm] A^{-1}=A [/mm] sein müsste, da E=A (s.o.)?

Oder bin ich hier ganz daneben, das richtige Notieren macht mir halt noch Probleme :/

2)Hier hast du als Verknüpfung also [mm] \cdot_{X^e} [/mm] definiert, nur wie weißt man den Halbgruppenmorphismus von [mm] X\to X^{e} [/mm] nach?

Verstehe ich richtig, dass wenn [mm] e_X [/mm] schon das neutrale Element in (X, [mm] \cdot) [/mm] ist, dann ist e das neutrale Element in [mm] (X^e, \cdot_{X^e}), [/mm] den Beweis hast du ja aufgeführt?


Bezug
                        
Bezug
Monoide und Morphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mo 29.10.2018
Autor: meili

Hallo heyho95,

> Vielen Dank schonmal *meili für deine Antwort.
>  Jetzt ist mir schon einiges klarer, nur weiß ich nicht
> ganz so genau, wie ich den Beleg jetzt notieren soll? Sind
> die Belege schon genau genug?
>  
> 1) seien A,B,C,E [mm]\subset[/mm] P(X) und x ein Element dieser
> Teilmengen
>  
> Asso.:wenn [mm]x\in A\cap(B \cap C)\gdw x\in[/mm] A [mm]\cap x\in([/mm] B
> [mm]\cap[/mm] C) [mm][mm] ]x\in A\cap(B \cap [/mm] C) und
> (genau so beim "Schnitt")

Das oben ist Schnitt, müsste also genau so bei Vereinigung heißen.
Bei der Voraussetzung solltest du mit [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in A\cap(B \cap [/mm] C)$ anfangen.
Die Idee ist schon richtig, nur bei Aussagen kein [mm] $\cap$ [/mm] sondern logisches Und [mm] $\wedge$ [/mm] verwenden, also weiter mit:
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B [mm] \cap [/mm] C [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge x\in [/mm] C [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C$

>  
> Neutrales El.: es existiert ein E mit [mm]A\cap[/mm] E= [mm]E\cap[/mm] A=A
> wobei E=A bzw.

Nein, das neutrale Element muss für alle Mengen funktionieren und nicht
für jede Menge ein anderes sein. Aber wie wäre es mit X?

> bei [mm]F\cup[/mm] A=A ist F die leere Menge???

Ja, bei der Vereinigung ist das neutrale Element die leere Menge.

>  
> Monoidmorphismus: [mm]h(A\capB)=h(A[/mm] und B)= h(A) oder h(B)=
> [mm]h(A)\cup[/mm] h(B)
>  h(E)=F gilt, da h(E)=h({A})=???

Nö, ich tippe auf eine Menge A wird auf ihr Komplement X \ A abgebildet,
habe das aber nicht nachgeprüft.

>
> inverse Elemente: z.z. [mm]A\cap A^{-1}=E,[/mm] bzw. [mm]B\cup B^{-1}=F,[/mm]
> dann komm ich aber nicht richtig weiter, außer dass
> [mm]A^{-1}=A[/mm] sein müsste, da E=A (s.o.)?

Wenn eine Menge verknüpt mit einer anderen Menge das neutrale Element
ergibt, ist diese andere Menge das Inverse.
Gibt es vielleicht nicht für alle.

>
> Oder bin ich hier ganz daneben, das richtige Notieren macht
> mir halt noch Probleme :/
>  
> 2)Hier hast du als Verknüpfung also [mm]\cdot_{X^e}[/mm] definiert,
> nur wie weißt man den Halbgruppenmorphismus von [mm]X\to X^{e}[/mm]
> nach?

[mm]\cdot_{X^e}[/mm] muss man definieren, wie in der Aufgabe
vorgegeben: Für Elemente aus X ist es die vorgegebene Verknüpfung der
Halbgruppe (über die nichts nähres gesagt wird), $x [mm] \in [/mm] X$ vernküpft mit e:
$x [mm] \cdot_{X^e} [/mm] e = e [mm] \cdot_{X^e} [/mm] x = x$
und $e [mm] \cdot_{X^e} [/mm] e = e$
So wird, wie gefordert, e zum neutralen Element von [mm] $(X^e, \cdot_{X^e})$ [/mm]

Die Inklusionsabbildung ist gegeben mit:
$i: X [mm] \to X^e, [/mm] i(x) = x$
Es muss gezeigt werden, dass dies ein Halbgruppenhomomorphismus ist.

>  
> Verstehe ich richtig, dass wenn [mm]e_X[/mm] schon das neutrale
> Element in (X, [mm]\cdot)[/mm] ist, dann ist e das neutrale Element
> in [mm](X^e, \cdot_{X^e}),[/mm] den Beweis hast du ja aufgeführt?

Vorallem das neutrale Element aus X ist nicht neutrales Element von [mm] $X^e$. [/mm]

>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Monoide und Morphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mo 29.10.2018
Autor: heyho95

Ok, damit ist die 1 ja fast fertig, Inverse habe ich jetzt für beide nicht gefunden, da für E=X keine Lösung für [mm] A\cap A^{-1}=E [/mm] rauskommt und wenn F die leere Menge ist auch [mm] B\cup B^{-1}=F [/mm] keine Lösung ergibt?!

2)für den Monoidmorphismus muss doch gelten: [mm] i(a*b)=i(a)\cdot_{X^e} [/mm] i(b) für [mm] a,b\in [/mm] X oder? und wie zeigt man das?

Assoz.:für a,b [mm] \in X^{e}... [/mm] ab hier verwirrt mich einfach die Verknüpfung [mm] \cdot_{X^e} [/mm] etwas und ich weiß nicht genau, wie ich das jetzt fortführen kann?!

Bezug
                                        
Bezug
Monoide und Morphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mo 29.10.2018
Autor: meili

Hallo heyho95,

> Ok, damit ist die 1 ja fast fertig, Inverse habe ich jetzt
> für beide nicht gefunden, da für E=X keine Lösung für
> [mm]A\cap A^{-1}=E[/mm] rauskommt und wenn F die leere Menge ist
> auch [mm]B\cup B^{-1}=F[/mm] keine Lösung ergibt?!

Die jeweiligen neutralen Elemente, sind zu sich selbst invers.
Sonst gibt es keine Inverse.

>  
> 2)für den Monoidmorphismus muss doch gelten:
> [mm]i(a*b)=i(a)\cdot_{X^e}[/mm] i(b) für [mm]a,b\in[/mm] X oder? und wie
> zeigt man das?

Bei Aufgabe 2 ist kein Monoidhomomorphismus gesucht, sondern man
muss zeigen, dass die Inklusionsabbildung ein Halbgruppenhomomorphismus ist.

Ein Halbgruppenhomomorphismus muss die von dir aufgeschriebene Bedingung erfüllen.
Zeigen kann man das, weil [mm] $\cdot_{X^e}$ [/mm] durch die Verknüpfung in $(X, [mm] \cdot)$ [/mm]
definiert ist für $a, b [mm] \in [/mm] X$.

>  
> Assoz.:für a,b [mm]\in X^{e}...[/mm] ab hier verwirrt mich einfach
> die Verknüpfung [mm]\cdot_{X^e}[/mm] etwas und ich weiß nicht
> genau, wie ich das jetzt fortführen kann?!

[mm] $\cdot_{X^e}$ [/mm] habe ich eingeführt, damit man die Verknüpfung in X von
der Vernküpfung in [mm] $X^e$ [/mm] unterscheiden kann, denn die zweite soll man
in der Aufgabe definieren. Im "wesentlichen" (für Elemente aus X) ist es
die gleiche Verknüpfung, sie wird nur erweitert, indem definiert wird, wie mit
e verknüpft wird. Deshalb erbt auch [mm] $\cdot_{x^e}$ [/mm] die Assozitivität von
der Verknüpfung aus $(X, [mm] \cdot)$ [/mm] und muss nur für Verknüpfungen mit e
gezeigt werden.

Gruß
meili


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