Monome linear unabhängig < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei der Reelle Vektorraum aller Polynome von Grad kleiner gleich d (d [mm] \in \IN [/mm] ), also:
[mm] V_{d} [/mm] := {p(X) = [mm] a_{d} *X^{d} [/mm] + [mm] a_{d-1} *X^{d-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1} *X^{1} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] | [mm] a_{0} [/mm] , ... , [mm] a_{d} \in \IR [/mm] }
Zeigen sie, dass die Monome 1, X, [mm] X^{2}, [/mm] ... [mm] ,X^{d} [/mm] linear unabhängig in [mm] V_{d} [/mm] sind. |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabenstellung nicht. Was soll "linear unabhängig in etwas" bedeuten? Ein Vektor=:c ist linear unabhängig !!von!! einer Menge Vektoren =:M ,
wenn c [mm] \not\in [/mm] LK(M) (=Linearkombination) ist.
Hier wird aber kaum "von" gemeint sein, denn
[mm] X^{d} \in V_{d} [/mm] für [mm] a_{d} [/mm] = 1 [mm] \wedge a_{0} [/mm] , ... , [mm] a_{d-1} [/mm] = 0
Was also soll ich hier zeigen? Dass
[mm] X^{d} \not\in a_{d-1} *X^{d-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1} *X^{1} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] ist?
Wenn dem so wäre, wie soll ich das für die Allgemeinheit zeigen können?
Ich hoffe mir kann jemand helfen?!?
/Edit: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hiho,
lass das "in V" mal weg. Du sollst einfach zeigen, dass die Menge von Vektoren [mm] $\{1,X,X^2,\ldots,X^d\}$ [/mm] linear unabhängig ist (d.h. kein Vektor aus der Menge sich durch eine Linearkombination der anderen darstellen lässt).
Dazu solltest du vielleicht die "allgemeine" Definition von linearer Unabhängigkeit benutzen, die heißt:
[mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] unabhängig, genau dann wenn gilt: [mm] a_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots a_nv_n [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow $a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] a_n [/mm] = 0$
Gruß,
Gono.
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Ist es wirklich so einfach?
Nach der Def. der lineraren Unabhängigkeit gilt:
p(X) = [mm] a_{d} *X^{d} [/mm] + [mm] a_{d-1} *X^{d-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1} *X^{1} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow a_{0} [/mm] = ... = [mm] a_{d} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] {1, X, [mm] X^{2}, [/mm] ... [mm] ,X^{d} [/mm] } ist l.u.
Das mag ich kaum glauben. ;)
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Hiho,
wenn du deinen ersten [mm] \Rightarrow [/mm] begründen kannst, passt das.
Also?
Gruß,
Gono.
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Da die Anzahl der Nullstellen jedes Monoms entsprechend seines Gerades sind und die Aussage p(X)=0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gelten soll, lässt sich keine Monom durch die Addition zweier anderer darstellen ( [mm] X^{n} [/mm] + [mm] X^{k} \not= [/mm] 0 ; n,d [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \not= [/mm] k ).
Also muss für die Erfüllbarkeit der Aussage p(X)=0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] lediglich die Skalare betrachtet werden.
Kann ich den Pfeil so begründen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Da die Anzahl der Nullstellen jedes Monoms entsprechend
> seines Gerades sind und die Aussage p(X)=0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> gelten soll, lässt sich keine Monom durch die Addition
> zweier anderer darstellen ( [mm]X^{n}[/mm] + [mm]X^{k} \not=[/mm] 0 ; n,d [mm]\in \IN[/mm]
> : n [mm]\not=[/mm] k ).
> Also muss für die Erfüllbarkeit der Aussage p(X)=0
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] lediglich die Skalare betrachtet werden.
>
> Kann ich den Pfeil so begründen?
Nein ! Das versteht doch kein Mensch ! Was soll oben "[mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]"?
Du hast
$ [mm] a_{d} \cdot{}X^{d} [/mm] $ + $ [mm] a_{d-1} \cdot{}X^{d-1} [/mm] $ + ... + $ [mm] a_{1} \cdot{}X^{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{0} [/mm] $ = 0
.....
Versuche nun zu zeigen: [mm] a_0=a_1=...=a_d=0.
[/mm]
FRED
>
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> Nein ! Das versteht doch kein Mensch ! Was soll oben
> [mm] "\forall [/mm] n [mm] \in \IN"?
[/mm]
das sollte natürlich [mm] "\forall [/mm] X [mm] \in \IR" [/mm] heißen (konzentrationsfehler)
Ich verstehe schon worauf du hinaus willst.
Ich habe ein endlich erzeugtes Gleichungssystem, auf das ich den Gaußalgorhytmus anwenden könnte.
Dann erhielte ich in der "d"-ten Zeile:
[mm] z*a_{o} [/mm] = 0 |/z (z="Term")
[mm] a_{o} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_{1}=0 [/mm] usw.
Das kann ich doch aber aufgrund der Endlichkeit nicht anwenden, oder?
Ich habe also nach einem anderen Kriterium gesucht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Nein ! Das versteht doch kein Mensch ! Was soll oben
> > [mm]"\forall[/mm] n [mm]\in \IN"?[/mm]
>
> das sollte natürlich [mm]"\forall[/mm] X [mm]\in \IR"[/mm] heißen
> (konzentrationsfehler)
>
> Ich verstehe schon worauf du hinaus willst.
> Ich habe ein endlich erzeugtes Gleichungssystem, auf das
> ich den Gaußalgorhytmus
Herr Gorithmus dreht sich im Grabe um
> anwenden könnte.
> Dann erhielte ich in der "d"-ten Zeile:
> [mm]z*a_{o}[/mm] = 0 |/z (z="Term")
> [mm]a_{o}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a_{1}=0[/mm] usw.
>
> Das kann ich doch aber aufgrund der Endlichkeit nicht
> anwenden, oder?
> Ich habe also nach einem anderen Kriterium gesucht.
Was soll das ?
Du hast
$p(X)= [mm] a_{d} \cdot{}X^{d} [/mm] $ + $ [mm] a_{d-1} \cdot{}X^{d-1} [/mm] $ + ... + $ [mm] a_{1} \cdot{}X^{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{0} [/mm] $ = 0 für alle X [mm] \in \IR
[/mm]
Dann hat p unendlich viele Nullstellen , also ....
FRED
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