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Hallo,
im Buch zur Masstheorie von Elstrodt wird eine monotone Klasse beschreiben als Menge für die gilt, dass der Durchschnitt jeder fallenden Folge Elementen der Klasse ebenfalls in der Klasse liegt (sowie umgekehrt die Vereinigung jeder aufsteigenden Folge von Elementen).
Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch: Ist denn nicht JEDE Menge eine monotone Klasse?
Was wäre ein Gegenbeispiel?
Danke Euch!
Dennis
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Hallo,
wenn du meinst, dass das Mengensystem X = {A} über [mm] \Omega [/mm] (Omega ist eine beliebige Grundmenge) aus einer einzelnen Menge besteht, dann hast du recht. Der Beweis ist nicht schwer. Setze [mm] A_{n} [/mm] = A für alle n [mm] \in \IN [/mm] und die Behauptung folgt. Diese Mengensysteme sind aber natürlich recht uninteressant.
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> im Buch zur Masstheorie von Elstrodt wird eine monotone
> Klasse beschreiben als Menge für die gilt, dass der
> Durchschnitt jeder fallenden Folge Elementen der Klasse
> ebenfalls in der Klasse liegt (sowie umgekehrt die
> Vereinigung jeder aufsteigenden Folge von Elementen).
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> Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch: Ist denn nicht
> JEDE Menge eine monotone Klasse?
ein Gegenbeispiel, also ein Beispiel für eine nicht monotone Klasse, wäre das folgende:
Betrachte [mm] $X=\IN\,.$ [/mm] Weiter sei [mm] $R:=\{A_m:\;m \in \IN\}\,,$ [/mm] wobei [mm] $A_m:=\{n \in \IN:\; n \le m\}\,, \;\;(m \in \IN)\,.$
[/mm]
(D.h. [mm] $\,R\,$ [/mm] besteht aus [mm] $A_1=\{1\}\,,$ $A_2=\{1,2\}\,,$ $A_3=\{1,2,3\}\,...$.)
[/mm]
Insbesondere gilt $R [mm] \subset \text{Pot}(\IN)\,.$
[/mm]
Dann ist offensichtlich [mm] $(A_k)_k$ [/mm] eine steigende Folge von Elementen aus [mm] $\,R\,.$ [/mm] Weiter gilt aber [mm] $\bigcup_{k \in \IN}A_k=\IN\,.$ [/mm] Aber es ist [mm] $\IN \notin R\,.$
[/mm]
(P.S.: Bei mir gilt $0 [mm] \notin \IN\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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