Monotone Konvergenz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 13.05.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen
Ich habe eine Frage zum monotonen Konvergenz Theorem.
Was ist, wenn ich eine Komposition von Funktionen habe. Sagen wir:
[mm] \phi(f_n(x)) \le \phi(f_{n+1}(x))[/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] stetig, nicht negative und monoton steigend ist. Die [mm] (f_n) [/mm] sind messbare nicht negative Funktionen (ebenfalls monoton wachsend) die punktweise gegen ein [mm] f [/mm] konvergieren und [mm] \phi(f_n) [/mm] konvergieren punktweise gegen [mm] \phi(f) [/mm] (Aufgrund der Stetigkeit von [mm] \phi [/mm].)
Wieso gilt dann:
[mm] \integral \phi(f_n(x)) d\mu \to \integral \phi(f)) d\mu [/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wieso ich hier Monotone Konvergenz anwenden darf. Sprich Limes und Integral vertauschen kann. Bei der Komposition handelt es sich ja nicht mehr um eine messbare Funktion. Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Sa 15.05.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo!
Es ist nicht ganz klar mit welcher sigma-Algebra du arbeitest. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass du auf einem topologischen Raum mit entsprechender Borel sigma-Algebra arbeitest.
Dann ist die Komposition von [mm] $f_n$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm] eine Borel messbare funktion, denn jede stetige (bezüglich der Topologie deines Raumes) Funktion ist insbesondere Borel messbar (diese Tatsache lässt sich am einfachsten mit Definition von Messbarkeit einer Funktion zeigen).
Die Messbarkeit, die Monotonie und die [mm] $\mu$-f.ü. [/mm] Konvergenz deiner [mm] $\phi \circ f_n$, [/mm] berechtigt dich Monotone Konvergenz anwenden zu können.
Ich hoffe, ich konnte Licht in die Sache bringen.
Gruss dazivo
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