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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Lara1985 |
Eine Norm ||.|| auf [mm] \IR^{n} [/mm] heißt monoton, wenn gilt: x,y [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] xi [mm] \le [/mm] yi für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] ||y||
Sind alle Norm auf [mm] \IR^{n} [/mm] monoton?
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Also habe nun mal eine Vermutung was das monoton angeht:
||x|| [mm] \le [/mm] ||y|| ist monoton, wenn in einem Vektor x: x1, x2 und x3 kleiner sind als in einem Vektor y: y1, y2 und y3
Dann ist es doch monoton, nun ist ja die Frage bei b, ob alle Norm monoton sind:
Könnte man da nicht zwei Fälle aufschreiben?
1. Fall: Vektor x [mm] \le [/mm] Vektor y
2. Fall: Vektor x [mm] \ge [/mm] Vektor y
Und dann könnte man das ja anhand von Beispielen zeigen und dann würde man sehen, dass der zweite Fall halt mit Definition, die in der Aufgabe steht, nicht monoton wäre und somit sind nicht alle Norm monoton...
oder mache ich es mir nun zu leicht???
Gruß Lara
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18489]
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> Eine Norm ||.|| auf [mm]\IR^{n}[/mm] heißt monoton, wenn gilt: x,y
> [mm]\in \IR^{n}[/mm] mit 0 [mm]\le[/mm] xi [mm]\le[/mm] yi für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> [mm]\Rightarrow[/mm] ||x|| [mm]\le[/mm] ||y||
>
> Sind alle Norm auf [mm]\IR^{n}[/mm] monoton?
Betrachte mal die Maximumnorm
[mm]{\lVert x \rVert}_\infty = \max \{|x_1|,\dots,|x_n|\}[/mm]
*edit* Ach Mist, x soll ja nichtnegativ sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Lara1985 |
Ist denn mein Vorschlag so machbar, also bin ich da auf dem richtigen Weg oder geht das gar nicht??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 So 19.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Natürlich sind nicht alle Normen monoton. Ein einfaches Gegenbeispiel wird bereits durch
$\left\Vert \pmat{x_1 \\ x_2}\right \Vert:= 2 |x_1-x_2| + |x_1+x_2|$
gegeben. Versuche mal dafür ein Gegenbeispiel zu finden, für das die Monotoniebedingung verletzt ist (ist nicht schwierig...)
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 19.06.2005 | | Autor: | Lara1985 |
Dein Beispiel ist ja nun eins für die Monotonie, könnte man nicht theoretisch, die Zahl vor dem ersten Betrag nicht so verändern, dass wir schließlich nicht mehr größer gleich 0 sind, also zum Beispiel -8, dann würden wir ja unter 0 sein, oder kann man die Zahl nicht verändern??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 19.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lara!
> Dein Beispiel ist ja nun eins für die Monotonie,
Nein, es ist ein Beispiel für eine Norm, die nicht monoton ist. Versuche selber mal zwei Vektoren $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] zu finden mit [mm] $0\le x\le [/mm] y$, aber mit [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] > [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert$, [/mm] wobei
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \vert= \Vert \pmat{x_1\\ x_2} \Vert:= [/mm] 2 [mm] \vert x_1-x_2 \vert [/mm] + [mm] \vert x_1+x_2\vert$.
[/mm]
Mache dir vorher auch klar, dass es sich tatsächlich um eine Norm handelt.
> nicht theoretisch, die Zahl vor dem ersten Betrag nicht so
> verändern, dass wir schließlich nicht mehr größer gleich 0
> sind, also zum Beispiel -8, dann würden wir ja unter 0
> sein, oder kann man die Zahl nicht verändern??
Sie kann nicht negativ sein, denn dann würde es sich nicht mehr um eine Norm handeln.
Viele Grüße
Stefan
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