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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Funktion f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] die in keiner Umgebung von x=0 monoton ist. |
Hallo zusammen,
bei oben genannter Aufgabe bin ich mir gerade sehr unsicher.
Spontan hätte ich gesagt, dass es keine solche Funktion gibt, da ja im Prinzip jede Parallele zur x-Achse monoton ist... Meiner Meinung nach müsste entweder der Definitionsbereich verändert werden oder aber genauer nach monoton steigend etc. gefragt sein, da mit man eine solche Funktion finden kann...
Das erscheint mir jedoch irgendwie zu einfach... Habe ich irgendwo einen Denkfehler? Oder gibt es tatsächlich keine solche Funktion?
Viele liebe Grüße und schonmal vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mo 13.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Versuche mal, eine Funktion zu finden, die "oszilliert", aber dennoch für [mm] x\to0 [/mm] konvergiert.
En Beispiel dafür wäre z.B. [mm] sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] mit dem Zusatz [mm] f(0):=\ldots
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
EDIT: Eine andere, sher bekannte Funktion mit "fiesen Eigenschaften" ist das sogenannte Weierstraßsche Monster, evtl kannst du da ja mal nach Infos suchen. Diese Funktion ist aber meistens im Universitären Bereich zu finden.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Pia90 |
Danke für den Hinweis, aber ich befürchte, dass das mein Wissen vermutlich übersteigt...
Ich verstehe nicht ganz, warum eine stark oszillierende Funktion nicht auch monoton ist..?! Liegt das daran, dass die Werte nicht mehr eindeutig genug sind?
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Hallo Pia,
auch ich dachte wie Marius erst an eine solche Funktion.
Allerdings geht es auch viel einfacher (und vermutlich deinem angegebenem Mathebackground entsprechender).
Schau dir mal $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Pia90 |
Aber ist [mm] f(x)=x^2 [/mm] nicht eigentlich monoton in der Umgebung von x=0? Für x [mm] \le [/mm] ist sie ja im Grunde streng monoton fallend... Oder Ist geht ja hier auch nur um die Monotonie, sie muss also nicht mal streng monoton fallend oder steigend sein. Im Prinzip gilt ja immer für [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] entweder [mm] f(x_1) \le f(x_2) [/mm] oder [mm] f(x_1) \ge f(x_2)...
[/mm]
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> Aber ist [mm]f(x)=x^2[/mm] nicht eigentlich monoton in der Umgebung
> von x=0?
Nein, sie ist in keiner Umgebung von x=0 monoton.
> Für x [mm]\le[/mm] ist sie ja im Grunde streng monoton
> fallend...
Das ist richtig.
> Oder Ist geht ja hier auch nur um die Monotonie,
> sie muss also nicht mal streng monoton fallend oder
> steigend sein. Im Prinzip gilt ja immer für [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2[/mm]
> entweder [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm] oder [mm]f(x_1) \ge f(x_2)...[/mm]
Ja, diese Beziehung gilt doch aber IMMER, für jede Funktion.
Eine Funktion ist in einer Umgebung monoton, wenn sie in der gesamten Umgebung monoton fallen ODER monoton steigend ist.
Für jeden Punkt < 0, z.B. -1 findest du eine Umgebung, so dass $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] monoton fallend ist in dieser Umgebung.
Für jeden Punkt grösser 0 ist sie in einer Umgebung darum auf jeden Fall monoton steigend.
Nur: Warum ist sie in JEDER Umgebung um 0 NICHT monoton?
Tip: Untersuche mal einen Punkt ganz wenig links von der Null und vergleich ihn mit 0
Und dann untersuche einen Punkt ganz wenig rechts von der Null und vergleich ihn mit 0
Was fällt dir auf?
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Pia90 |
Also jetzt noch mal, damit ich es hoffentlich richtig verstanden habe (aber ich denke schon) [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist in jeder Umgebung um 0 nicht monoton, da sie dort sowohl fallend UND steigend wäre.
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Nicht wäre, sondern ist.
Aber sonst ist die Aussage korrekt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Pia90 |
Danke ;)
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