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Forum "Rationale Funktionen" - Monotonie
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Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 15.02.2012
Autor: ms2008de

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die gebrochen-rationale Funktion [mm] g:\IR\setminus\{0\}\to \IR, [/mm]  x [mm] \mapsto \bruch{x^2-4}{x} [/mm] streng monoton steigend ist.

Hallo,
bei der Aufgabe soll die Ableitung der Funktion g nicht benutzt werden.
Also hab ich mal so angefangen: Fall1: Seien x>y>0 mit x,y [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Zu zeigen: g(x)-g(y)>0, also [mm] \bruch{x^2-4}{x}-\bruch{y^2-4}{y} [/mm] >0 . Indem ich die Brüche nun auf den Hauptnenner xy gebracht habe, kam ich leider nicht weiter. Die Frage ist also wie ich hier durch abschätzen geschickt weiter machen kann? Ich sehe sofort dass im Zähler die 3. binomische Formel steckt, also [mm] x^2-4 [/mm] = (x+2)*(x-2), doch hilft das?
Danach wirds wohl ziemlich analog für Fall2: y<x<0 mit x,y [mm] \in \IR [/mm] beliebig funktionieren.

Danke schonmal im voraus für jede Hilfe.

Viele Grüße

        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mi 15.02.2012
Autor: Schadowmaster

moin,

Schreib dir mal [mm] $\frac{x^2 - 4}{x} [/mm] = x - [mm] \frac{4}{x}$. [/mm]
Wenn du das selbe für $y$ machst und ein wenig rumsortierst dürftest du die Aussage gezeigt kriegen.

lg

Schadow

Bezug
        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mi 15.02.2012
Autor: Stoecki

ich denke nicht, dass die aussage richtig ist. setze mal x=- [mm] \frac{1}{10} [/mm] und y =  [mm] \frac{1}{10} [/mm] ein

es gilt
f(x) =- [mm] \frac{1}{10} [/mm] + 40 >  [mm] \frac{1}{10} [/mm] - 40 = f(y)

gruß bernhard

Bezug
                
Bezug
Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mi 15.02.2012
Autor: ms2008de


> ich denke nicht, dass die aussage richtig ist. setze mal
> x=- [mm]\frac{1}{10}[/mm] und y =  [mm]\frac{1}{10}[/mm] ein
>  
> es gilt
>  f(x) =- [mm]\frac{1}{10}[/mm] + 40 >  [mm]\frac{1}{10}[/mm] - 40 = f(y)
>  
> gruß bernhard

Es geht wohl darum, dass die Funktion ober- und unterhalb der Polstelle x=0 streng monoton steigend ist, nicht darum dass ein Funktionswert links der Polstelle größer als ein Funktionswert rechts von der Polstelle sein kann.
Ansonsten gäbs wohl keine gebrochenrationale Fkt. mit einer  Polstelle , die streng monoton ist...
Danke trotzdem nochmal für die Hilfe

Bezug
        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mi 15.02.2012
Autor: abakus


> Beweisen Sie, dass die gebrochen-rationale Funktion
> [mm]g:\IR\setminus\{0\}\to \IR,[/mm]  x [mm]\mapsto \bruch{x^2-4}{x}[/mm]
> streng monoton steigend ist.
>  Hallo,
>  bei der Aufgabe soll die Ableitung der Funktion g nicht
> benutzt werden.
>  Also hab ich mal so angefangen: Fall1: Seien x>y>0 mit x,y
> [mm]\in \IR[/mm] beliebig. Zu zeigen: g(x)-g(y)>0, also
> [mm]\bruch{x^2-4}{x}-\bruch{y^2-4}{y}[/mm] >0 . Indem ich die
> Brüche nun auf den Hauptnenner xy gebracht habe, kam ich
> leider nicht weiter. Die Frage ist also wie ich hier durch
> abschätzen geschickt weiter machen kann? Ich sehe sofort
> dass im Zähler die 3. binomische Formel steckt, also [mm]x^2-4[/mm]
> = (x+2)*(x-2), doch hilft das?
>  Danach wirds wohl ziemlich analog für Fall2: y<x<0 mit="" <br="">> x,y [mm]\in \IR[/mm] beliebig funktionieren.

>  
> Danke schonmal im voraus für jede Hilfe.
>  
> Viele Grüße

Hallo,
wenn bekannt ist, dass sowohl y=x als auch y=-4/x streng monoton wachsend sind, dann ist es die Summe der beiden Funktionen ebenfalls.
Gruß Abakus
</x<0>

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