Monotonie Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 10.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Folgen monoton und/oder beschränkt sind. Geben Sie gegebenenfalls obere und/oder untere Schranken an. (Beweisen Sie Ihre Aussagen!)
[mm] (a_n) = n^2 - \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] (a_n) = \bruch{(-1)^{n+1}}{n} [/mm]
[mm] (a_n) = \left( \bruch{1}{2} \right) ^n-2 [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir die Folgen skizziert und weiß also prinzipiell, ob sie monoton sind und/oder beschränkt.
Ich hätte gerne eine Rückmeldung, ob meine Schreibweise so korrekt ist, bzw. was ich noch ändern muss.
es gilt: [mm] n \in \N [/mm] wobei wir [mm] \N [/mm]ohne 0 definiert haben.
(1) Beh: [mm] (a_n) [/mm] ist streng monoton wachsend.
Beweis: zz: [mm] a_{n+1}> a_n \forall n \in \N [/mm]
betrachte [mm] a_n = n^2 - \bruch{1}{n} [/mm] und [mm]
a_{n+1} = (n+1)^2 - \bruch{1}{n+1} [/mm]
[mm] a_n = n^2 - \bruch{1}{n} > (n+1)^2 - \bruch{1}{n+1}
\gdw n^2+2n+1- \bruch{1}{n+1} > n^2- \bruch{1}{n}
\gdw 2n- \bruch{1}{n+1} > -1- \bruch{1}{n} [/mm]
rechte Seite ist kleiner 0, linke Seite größer 0 (Begründung klar)
und daraus folgt dann die Behauptung.
zur Beschränktheit:
Untere Schranke ist klar: alles was kleiner 1 ist ist untere Schranke, weil das der erste Folgenwert der streng monotonen Folge ist.
obere Schranke existiert nicht. Nur wie zeigen?
Frage: Kann ich zeigen,dass die Folge divergent ist, also keinen Grenzwert hat? Wenn sie konvergent wäre, müsste sie ja eine obere Schranke haben...
also: Annahme: [mm] a_n [/mm]konvergiert gegen a
zz: [mm] |(n^2 - \bruch{1}{n})-a|<\epsilon[/mm]
[mm] n^2+|\bruch{-1-an}{n}|<\epsilon
n^2+|-1|+\bruch{1+an}{n}<\epsilon
n^3+1+an < n\epsilon
n^3+n(a - \epsilon) < -1 [/mm]
hier hat man dann den Widerspruch. Da die Folge monoton wachstend ist, müsste a, wenn a ex., größer 0 sein. [mm]\epsilon[/mm] ist eine ganz kleine positive Zahl und n ist auch positiv.
D.h. die Folge divergiert, d.h. die Folge ist nicht beschränkt.
Richtig?
(2) Keine Monotonie, weil die Folge zwischen positiven und negativen Werten springt (da kann man einfach ein Gegenbeispiel aufschreiben)
und zur Beschränktheit:
obere Schranke:
[mm] |\bruch{(-1)^{n+1}}{n}| \bruch{1}{n} [/mm]
wähle n=1 (erster und größter Wert), dann muss c als obere größer als 1 sein.
untere Schranke analog. wähle n=2 (kleinster Wert) dann muss c als untere Schranke kleiner sein als [mm] 1/2[/mm]
(3)Monotonie: der Vergleich zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1}[/mm] ergibt, dass die Folge streng monoton fallend ist
Beschränktheit: find ich schwierig. Also so wie bei (2) hab ich das nicht hinbekommen. Kann ich einfach behaupten, dass c=-5 eine unter Schranke und d=1 eine obere Schranke ist und das dann beweisen?
Vielen Dank für Tipps und Korrektur
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Hallo,
also ich fang mal mit der ersten an:
Was du da versuchst ist sowas wie eine Induktion. Du hast aber bei einer Ungleichung das Relationszeichen verdreht, da musst du nochmal schauen, außerdem machst du soetwas wie ein "w.A."-Beweis, und ich nehm stark an, dass dein Übungsleiter schonmal gesagt hat, dass er das nicht so will!
Für eine Induktion brauchst du auch unbedingt einen Ind.anfang!
Nach dem Ind.anfang machst du wohl am bessten so weiter:
[mm]a_n=n^2 - \bruch{1}{n} = n^2 - 2n + 1 - \bruch{1}{n-1} +2n -1 - \bruch{1}{n} + \bruch{1}{n-1} = n^2 - 2n + 1 - \bruch{1}{n-1} +2n -1 + \bruch{1}{n(n-1)}[/mm]
Hier kannst du dann deine Ind.behauptung anwenden!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | ella87 |
was ist ein "w.A." Beweis??
Also Induktion bei der Monotonie? Und bei der Beschränktheit? Stimmt das so?
Und was ist mit (2) und (3)?
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"w.A. Beweise" heißt "wahre Aussage" Beweise, d.h. man schreib die Behauptung hin, und formt die dann solange um, bis eine wahre Aussage rauskommt, das ist aber i.A. nicht gern gesehen!
Du könntest ja annehmen dass es eine obere Schranke gibt, und dann das [mm] n_0 [/mm] angeben, ab welchen punkt diese Schranke überschritten wird, und damit die Annahme zum widerspruch führen...
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 10.11.2010 | | Autor: | ella87 |
Bei welcher Aufgabe mache ich denn einen w.A. Beweis? Ich seh das irgendwie nicht. Und wo das Zeichen verdreht ist, hab ich auch nicht gefunden...
Ist denn eine Indunktion zwangsläufig nötig?
Und ist alles falsch oder kann man irgedwas so machen?
(Danke für die Geduld =) )
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In deiner ersten Ungleichung hast du stehen [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}, [/mm] danach ist es richtig rum.
Und dabei macht du deinen w.A. Beweis, du schreibst hin was du zeigen sollst, und formst das um...
Fang besser auf einer Seite an (z.B. bei [mm] a_n), [/mm] und forme das solange um, bis das gesuchte dasteht!
Du brauchst keine Induktion machen, aber ich finde es hier ziemlich praktisch...
lg Kai
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