Monotonie, Schranke, Konvergen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 02.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenze:
[mm] $a_n [/mm] = n- [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] |
Hi Leute!
Laut Definition der Monotonie wäre diese Folge monoton wachsend für alle [mm] $n\in \mathbb [/mm] N: [mm] a_{n+1}>a_n$. [/mm] Das hab ich durch einsetzen mehrerer Werte herausgefunden, z.B. folgt 1 für 0 und für 2 folgt 1,5 usw. usf. Nur, wie beweist man das jetzt?
Wie sieht der Beweis dann bei der Schranke aus? Wenn man 1 einsetzt, kommt man auf die untere Schranke von 0. Nach oben dürfte diese Folge nicht Beschränkt sein, da sie ja immer größer werden kann. Das Gleiche: Wie beweist man das?
Konvergenz:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(n-\frac{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\left(n\left( 1 - \frac{1}{n^2}\right)\right) [/mm] = ...$
Wie geht das da jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nero12 |
also versuch einfach die Grenzwertsätze auf die folge anzuwenden
das solte dann zu einem ergebnis führen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 So 03.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie die Folge auf Monotonie, Beschränktheit
> und Konvergenze:
>
> [mm]a_n = n- \frac{1}{n}[/mm]
>
> Hi Leute!
>
> Laut Definition der Monotonie wäre diese Folge monoton
> wachsend für alle [mm]n\in \mathbb N: a_{n+1}>a_n[/mm]. Das hab ich
> durch einsetzen mehrerer Werte herausgefunden, z.B. folgt 1
> für 0 und für 2 folgt 1,5 usw. usf. Nur, wie beweist man
> das jetzt?
(1) Es ist n+1>n
Dann folgt: [mm] \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{n}
[/mm]
Und damit:
(2) [mm] -\bruch{1}{n+1}<-\bruch{1}{n}
[/mm]
Adiere (1) und (2)
>
> Wie sieht der Beweis dann bei der Schranke aus? Wenn man 1
> einsetzt, kommt man auf die untere Schranke von 0. Nach
> oben dürfte diese Folge nicht Beschränkt sein, da sie ja
> immer größer werden kann. Das Gleiche: Wie beweist man
> das?
Es ist [mm] a_n [/mm] > n für jedes n.
>
> Konvergenz:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\left(n-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\left(n\left( 1 - \frac{1}{n^2}\right)\right) = ...[/mm]
>
> Wie geht das da jetzt weiter?
Es ist [mm] a_n [/mm] > n für jedes n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 03.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "(1) Es ist n+1>n
Dann folgt: $ [mm] \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{n} [/mm] $
Und damit:
(2) $ [mm] -\bruch{1}{n+1}<-\bruch{1}{n} [/mm] $"
Wenn ich die zwei Gleichungen addiere, komm ich ja auf 0... Stimmt das so?
Noch kurz zur Konvergenze:
Zitat: "Es ist $ [mm] a_n [/mm] $ > n für jedes n." - Irgendwie verstehe ich das nicht. Kannst du mir das näher erläutern? Was folgt da dann als weitere Umformung damit ich den limes anwenden kann? Oder ist das etwa schon das Ergebnis gegen das die Folge konvergiert? Falls ja, konvertiert die Folge gegen unendlich...
Generelle Frage: Bestimmt man die Konvergenze einer Folge überhaupt mit dem limes? Ich hab das mehr oder weniger aus dem Bauch heraus gemacht, da ja die Konvergenz in gewisser Maßen auch eine Art Grenzwert ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zur Monotonie reichen Beispiele nie, es koennte ja ab n=10000 falsch werden. also du hast durch probieren rausgefunden, dass die folge monoton wächst, dazu dienen die Zahlen. jetz allgemein [mm] a_{n+1}>a_n
[/mm]
also n+1-1/(n+1)>n-1/n und das kannst du leicht zeigen.
2. nach unten beschränkt ist klar, da es mon. wachsend ist also ist [mm] a_1=0 [/mm] eine untere Schranke.
schliesslich unbeschränkt wachsend bzw. bestimmt konvergent: wegen 1/n<1 für alle n>1 gilt [mm] a_n>n-1 [/mm] für alle n und damit divergent.
natürlich kannst du auch schreiben [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n-1/n=\limes_{n\rightarrow\infty} n-\limes_{n\rightarrow\infty} 1/n=Ûnfty-0=\infty,\textrm{aber das ist unschön.
den GW zu berechnen ist nur bei echt konvergenten Folgen sinnvoll}[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 03.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Zur Monotonie:
[mm] $a_{n+1}>a_n$:
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (n+1)-\frac{1}{n+1} [/mm] > [mm] n-\frac{1}{n} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow \frac{n^2+2n}{n+1} [/mm] > [mm] n-\frac{1}{n}$
[/mm]
Soweit sollte es stimmen? Was mache ich nun an dieser stelle? Limes? Oder bin ich etwa schon fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum so umständlich_ auf beiden Seiten -n und +1/(n+1)
fang besser an mit 1/(n+1)<1/n also -1/(n+1)>1/n jetzt n addieren!
du musst etwas zielgerichteter umformen! oder wenigsten beide Seiten auf den Hauptnenner bringen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 03.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut.
Das war ja die Aufgabe [mm] $a_n=n-\frac{1}{n}$.
[/mm]
Du betrachtest also nur das [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm] Das sieht bei mir auf'm Zettel nun so aus:
da [mm] $a_{n+1}>a_n$ [/mm] folgt:
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \Leftrightarrow -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n} \Leftrightarrow [/mm] ...$
Frage: Du nimmst auf beiden Seite [mm] $\cdot [/mm] (-1)$, damit sich das Ungleichheitszeichen auf die Richtung dreht wie es in der Definition der Monotonie steht, oder?
Nachdem ich nun die beiden Seite auf den gleichen Nenner gebracht habe und weiter zusammengefasst habe komm ich auf:
$... [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)\cdot n} [/mm] > 0$
Soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mein post war 2.5 Yeilem lang, davon hast du nur eine formel abgeschrieben. Um nen post yu lesen sollte man sich was Yeit nehmen, Hab ich jedes Wort kapiert_
was du hier machst ist nicht sehr sinnvoll. also lies noch mal meinen post davor!
Gruss leduart
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Nein er betrachtet natürlich die ganze Folge also:
[mm] n+1-\bruch{1}{n+1}
nun mach er einfach -n:
[mm] 1-\bruch{1}{n+1}<-\frac{1}{n}
[/mm]
Nun einfach weiter mit den Rechenreglen fürn UNgleichungen weiter rechnen und auf eine ersichtliche wahre Aussage bringen. Ist echt nicht so schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 03.04.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] 1-\bruch{1}{n+1}<-\frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{n^2+n+1}{(n+1)\cdot n}$
[/mm]
Ungleichung lösen:
1. Fall: [mm] $n^2+n+1>0$
[/mm]
Ich hab ja jetzt quasi diese Ungleichung zu lösen. D.h. ich setze die quadratische Lösungsformel an und komme aber auf keine Schnittpunkt mit der x-Achse, da die Diskriminante unter der Wurzel neg. wird (es gäbe also komplexe Lösungen aber die wollen wir ja nicht!).
2. Fall: [mm] $n^2+n+1<0$
[/mm]
Gleiches Ergebnis wie bei 1. Fall.
Das kann doch nicht sein, oder?
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Hallo,
die Folge ist doch monoton steigend, wieso untersuchst du auf monotones Fallen?
> [mm]1-\bruch{1}{n+1}<-\frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{n^2+n+1}{(n+1)\cdot n}[/mm]
Da steht Kappes, eine Ungleichung äquivalent zu einem Term???????
Du meinst [mm]...\gdw \frac{n^2+n+1}{(n+1)n}<0[/mm]
Aber das hat keine Lösung!!
Zu betrachten ist:
[mm]a_{n+1}\red{>}a_n[/mm], also [mm]n+1-\frac{1}{n+1}>n-\frac{1}{n}[/mm]
[mm]\gdw 1-\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}[/mm]
Nun du weiter, das ist trivial lösbar für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Ungleichung lösen:
>
> 1. Fall: [mm]n^2+n+1>0[/mm]
Das ist doch sowieso [mm]>0[/mm]
Was soll da ne Fallunterscheidung?
Sowohl Zähler als auch Nenner sind doch ersichtlich positiv, damit auch der Gesamtbruch!
>
> Ich hab ja jetzt quasi diese Ungleichung zu lösen. D.h.
> ich setze die quadratische Lösungsformel an und komme aber
> auf keine Schnittpunkt mit der x-Achse, da die
> Diskriminante unter der Wurzel neg. wird (es gäbe also
> komplexe Lösungen aber die wollen wir ja nicht!).
>
> 2. Fall: [mm]n^2+n+1<0[/mm]
>
> Gleiches Ergebnis wie bei 1. Fall.
>
> Das kann doch nicht sein, oder?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 03.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber so trivial ist das nicht für mich:
$ [mm] a_{n+1}\red{>}a_n [/mm] $, also $ [mm] n+1-\frac{1}{n+1}>n-\frac{1}{n} [/mm] $
$ [mm] \gdw 1-\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n} [/mm] $
Soll ich da jetzt die rechte Seite auf die linke rüberholen? Oder wie soll ich das dann auflösen?
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Hallo nochmal,
> Sorry, aber so trivial ist das nicht für mich:
Doch, ist es, wenn es erstmal steht 
>
> [mm]a_{n+1}\red{>}a_n [/mm], also [mm]n+1-\frac{1}{n+1}>n-\frac{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1-\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}[/mm]
>
> Soll ich da jetzt die rechte Seite auf die linke
> rüberholen? Oder wie soll ich das dann auflösen?
Selbe Rechnung wie in deinem anderen post (mit dem falschen Relationszeichen) führt doch zu
[mm]\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}>0[/mm] bzw. [mm]\frac{n^2+n+1}{n^2+n}>0[/mm]
Im Zähler und Nenner stehen positive Ausdrücke, damit ist doch der Geamtbruch ebenfalls positiv ...
Der Bruch ist sogar >1, denn [mm]\frac{n^2+n+1}{n^2+n}=1+\underbrace{\frac{1}{n^2+n}}_{>0} \ > \ 1[/mm]
Das ist keine Hexerei
Gruß
schachuzipus
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