Monotonie, cos-Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | In welchen Intervallen ist die Funktion f monoton wachsend bzw. monoton fallend?
f(x) = cos x - x |
Hallo Zusammen,
bis jetzt hab ich immer die Extremwerte bestimmt und in den ergebenden Intervallen das Monotonieverhalten überprüft. Bei der cos-Funktion von 0 < x < [mm] \pi: [/mm] monoton fallend und von [mm] \pi [/mm] < x < [mm] 2\pi: [/mm] monoton wachsend. Wie zeige ich dass denn?, auch die Ableitungen erstellen:
f'(x) = -sin x - 1
f''(x) = -cos x
f'(x) = 0 -> -sin x - 1 = 0, x = [mm] \pm90°, [/mm] also x = [mm] \pm1
[/mm]
wenn ich dies nun in f'(x) einsetze:
- für x < -1:
f'(-1) = -sin (-1) - 1 = -0,98 < 0 -> monoton fallend
- für x > 1:
f'(1) = -sin 1 - 1 = -1,017 < 0 -> monoton fallend
Dürfte nicht stimmen, wie zeige ich denn sowas bei Winkelfunktionen? Vielen Dank im Voraus.
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Also rein vom Anschauen des Graphen her
[Dateianhang nicht öffentlich]
Scheint mir die Funktion eigentlich immer monoton fallend zu sein. Um das zu begründen reicht es eigentlich, die erste Ableitung zu bilden und zu überprüfen, wann diese größer 0 (-->steigend) oder kleiner 0 (-->fallend) ist.
Die erste Ableitung hast du richtig berechnet, die ist:
[mm]\left[cos(x)-x\right]' = -sin(x) - 1[/mm]
Und nun wissen wir doch, dass der Sinus beschränkt auf dem Wertebereich [-1,1] ist.
Wenn ich nun noch 1 abziehe, ist also die Ableitung beschränkt auf [-2,0].
Das heißt, dass die gegebene Funktion immer eine negative Ableitung hat (außer an ... ), und deswegen eigentlich immer monoton fallend ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Um das zu begründen reicht es eigentlich, die
> erste Ableitung zu bilden und zu überprüfen, wann diese
> größer 0 (-->steigend) oder kleiner 0 (-->fallend) ist.
also f'(x) > 0 und f'(x) < 0
> Die erste Ableitung hast du richtig berechnet, die ist:
>
> [mm]\left[cos(x)-x\right]' = -sin(x) - 1[/mm]
wachsend:
-sin(x) - 1 > 0
-sin(x) > 1
x > -1
fallend:
-sin(x) - 1 < 0
x < -1
> Und nun wissen wir doch, dass der Sinus beschränkt auf dem
> Wertebereich [-1,1] ist.
> Wenn ich nun noch 1 abziehe, ist also die Ableitung
> beschränkt auf [-2,0].
okay
> Das heißt, dass die gegebene Funktion immer eine negative
> Ableitung hat (außer an ... )
an welchen Stellen ist die Ableitung positiv? Das verstehe ich nicht, diese ist doch monoton fallend
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> Hallo,
>
> > Um das zu begründen reicht es eigentlich, die
> > erste Ableitung zu bilden und zu überprüfen, wann diese
> > größer 0 (-->steigend) oder kleiner 0 (-->fallend) ist.
>
> also f'(x) > 0 und f'(x) < 0
>
Richtig.
> > Die erste Ableitung hast du richtig berechnet, die ist:
> >
> > [mm]\left[cos(x)-x\right]' = -sin(x) - 1[/mm]
>
>
> wachsend:
> -sin(x) - 1 > 0
> -sin(x) > 1
> x > -1
Das ist Unfug  . Wenn ich das umforme komme ich auf:
wachsend:
[mm]-\sin(x) - 1 > 0[/mm]
[mm]\gdw -\sin(x) > 1[/mm]
Nun mal (-1), das Relationszeichen dreht sich um:
[mm]\gdw \sin(x) < -1[/mm]
Und das geht bekanntlich nicht, also wird die Ableitung nie größer als 0 sein, d.h. die Funktion wird nie monoton bzw. streng monoton wachsend sein.
> fallend:
> -sin(x) - 1 < 0
> x < -1
Wie oben: Wenn ich das umforme, erhalte ich eigentlich:
[mm]-\sin(x) - 1 < 0[/mm]
[mm]\gdw -\sin(x) < 1[/mm]
Nun mal (-1), das Relationszeichen dreht sich um:
[mm]\gdw \sin(x) > -1[/mm]
Und das stimmt immer (also eigentlich macht man "monoton" mit größergleich zeichen, deswegen ist das mit der -1 jetzt ein bisschen schwammig.), also also ist die Funktion immer monoton fallend.
> > Und nun wissen wir doch, dass der Sinus beschränkt auf dem
> > Wertebereich [-1,1] ist.
> > Wenn ich nun noch 1 abziehe, ist also die Ableitung
> > beschränkt auf [-2,0].
>
> okay
>
> > Das heißt, dass die gegebene Funktion immer eine negative
> > Ableitung hat (außer an ... )
>
> an welchen Stellen ist die Ableitung positiv? Das verstehe
> ich nicht, diese ist doch monoton fallend
Die Ableitung ist nie positiv, aber sie nimmt an gewissen Stellen 0 an.
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