Monotonie durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Do 10.12.2009 | | Autor: | notinX |
Ich möchte per Induktion zeigen, dass die Folge, definiert durch: [mm] $a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$ [/mm] monoton wachsend ist:
IA: [mm] $a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}<\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2+2}=\frac{7}{12}=a_2$ [/mm]
also gilt [mm] $a_n
Wie lautet nun die Induktionsbehauptung?
a) [mm] $a_n
oder b) [mm] $a_{n+1}
und wie gehts dann weiter wie soll ich von n auf n+1 schließen?
[mm] $a_{n+1}=a_n+?
[/mm]
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Hallo notinx,
> Ich möchte per Induktion zeigen, dass die Folge, definiert
> durch: [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm]
> monoton wachsend ist:
Warum unbedingt per Induktion? Geht das direkt nicht viel leichter?
> IA:
> [mm]a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}<\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2+2}=\frac{7}{12}=a_2[/mm]
>
> also gilt [mm]a_n
Ok.
> Wie lautet nun die Induktionsbehauptung?
> a) [mm]a_n
> oder b) [mm]a_{n+1}
Weder noch. Zu zeigen ist doch der blaue Pfeil: [mm] a_n
> und wie gehts dann weiter wie soll ich von n auf n+1
> schließen?
>
> [mm]$a_{n+1}=a_n+?[/mm]
Sehr gute Frage. Deswegen wundere ich mich ja über den Ansatz.
Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n. [/mm] Diese ist wie folgt gegeben:
[mm] a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
Wenn Du das aber schon weißt, dann kannst Du doch gleich allgemein untersuchen, ob wirklich [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] gilt. Wozu noch die Induktion?
Zu zeigen ist letztlich nur dies:
[mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht quadratisch und stellt sich als wahr [mm] \forall\ n\in\IN [/mm] heraus.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Fr 11.12.2009 | | Autor: | notinX |
>
> Warum unbedingt per Induktion? Geht das direkt nicht viel
> leichter?
>
mir ist nichts besseres eingefallen. Ich dachte bei natürlichen Zahlen bietet sich Induktion an.
> Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_n.[/mm]
> Diese ist wie folgt gegeben:
>
> [mm]a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
Wie kommst Du darauf?
>
> Zu zeigen ist letztlich nur dies:
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>
> Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer
> verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht
> quadratisch und stellt sich als wahr [mm]\forall\ n\in\IN[/mm]
Auch bei dieser Ungleichung kann ich nicht erkennen wie Du darauf kommst. Was ist eine quadratische Ungleichung? Ich sehe da nichts quadratisches.
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> > Du brauchst ja eine Beziehung zwischen [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_n.[/mm]
> > Diese ist wie folgt gegeben:
> >
> > [mm]a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>
> Wie kommst Du darauf?
Hallo,
wie's der reverend herausgefunden hat, weiß ich natülich nicht, aber ich habe das gesehen, als ich mir mal die ersten 37 Folgenglieder aufgeschrieben habe.
Man erkennt's aber auch ohne das:
$ [mm] a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n} [/mm] $
[mm] a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n} +$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2} [/mm]
[mm] =-\frac{1}{n+1}+\green{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots++\frac{1}{2n}}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}= -\frac{1}{n+1}+\green{a_n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}
[/mm]
Wenn Du nun zeigen möchtest, daß [mm] a_{n+1}>a_n, [/mm] mußt Du zeigen [mm] -\frac{1}{n+1}+a_n+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}>a_n,
[/mm]
und das ist äquivalent zu [mm] -\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}>0.
[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen ist letztlich nur dies:
> >
> > [mm]\bruch{1}{n+1}\ <\ \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
> >
> > Ich sehe da eine quadratische Ungleichung ... immer
> > verdächtig ... aber dann ist sie letztlich doch nicht
> > quadratisch und stellt sich als wahr [mm]\forall\ n\in\IN[/mm]
>
> Auch bei dieser Ungleichung kann ich nicht erkennen wie Du
> darauf kommst. Was ist eine quadratische Ungleichung? Ich
> sehe da nichts quadratisches.
Naja, der reverend schaut vermutlich ein kleines bißchen in die Zukunft...
Wenn Du die Brüche wegmultiplizierst, ist's doch eine quadratische Ungleichung.
Hast Du es denn mal durchgezogen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 11.12.2009 | | Autor: | notinX |
> Man erkennt's aber auch ohne das:
>
> [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n} +$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{n+2}+\green{\frac{1}{n+2}\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots++\frac{1}{2n}}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}= -\frac{1}{n+2}+\green{a_n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
>
Ich habs immer noch nicht.
Wenn [mm] $a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$, [/mm]
dann komme ich auf: [mm] $a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+2}$
[/mm]
Wo kommen denn in der zweiten Zeile die doppelten Terme her und wieso steht in der dritten Zeile ein Minus? Es handelt sich doch nur um positive Zahlen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo notinX!
Der negative Term wurde ergänzt, um wiederum auf den bereits bekannten Term [mm] $a_n$ [/mm] zu kommen.
Gruß
Loddar
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> Wenn [mm]a_n:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}[/mm],
> dann komme ich auf:
> [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+2}[/mm]
> Wo kommen denn in der zweiten Zeile die doppelten Terme
> her und wieso steht in der dritten Zeile ein Minus? Es
> handelt sich doch nur um positive Zahlen.
Hallo,
beachte, daß ich aus meiner Antwort inzwischen einen Fehler entfernt habe. Natürlich ergänzt man [mm] 0=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+1} [/mm] und nicht, wie zuvor dastand, [mm] 0=-\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+2}.
[/mm]
Also ist [mm] a_{n+1}:=-\bruch{1}{n+1}+(\bruch{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\bruch{1}{2n})+\bruch{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 So 13.12.2009 | | Autor: | notinX |
Das leuchtet mir ein.
Danke euch.
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