Monotonie einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 13.12.2008 | | Autor: | sharth |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Montonieverhalten der Folgen
[mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^n\*n^2}{3^n}
[/mm]
[mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{(n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich habe das Problem, dass ich bei den o.a. Folgen überhaupt nicht weiß, wie ich an die Sache herangehen könnte. Die Aufgaben sollen nach folgendem Schema gelöst werden:
[mm] a_{n-1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}
[/mm]
Für einige Tipps wäre ich sehr dankbar. Bisher habe ich nur Aufgaben gelöst, bei denen man die Brüche auf einen Nenner bringen und danach Zähler oder Nenner vergrößern konnte, um auf <> 1 zu kommen.
Grüße,
sharth
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> Untersuchen Sie das Montonieverhalten der Folgen
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> [mm](a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^n\*n^2}{3^n}[/mm]
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> [mm](a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> ich habe das Problem, dass ich bei den o.a. Folgen
> überhaupt nicht weiß, wie ich an die Sache herangehen
> könnte. Die Aufgaben sollen nach folgendem Schema gelöst
> werden:
>
> [mm]a_{n-1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] bzw. [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
Hallo,
das ist doch schonmal gut.
Dann schreib Dir jetzt mal [mm] a_{n+1} [/mm] auf, und danch bildelst Du die Differenz von [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] und schaust, ob Du sie zu >0 oder <0 abschätzen kannst.
Wenn Du so nicht zum Ziel kommst, probierst Du den Quotienten und schaust, ob er größer oder kleiner als 1 ist.
Wenn Du nicht klarkommst, post Deine bisherigen Rechnungen mit.
Gruß v. Angela
>
> Für einige Tipps wäre ich sehr dankbar. Bisher habe ich nur
> Aufgaben gelöst, bei denen man die Brüche auf einen Nenner
> bringen und danach Zähler oder Nenner vergrößern konnte, um
> auf <> 1 zu kommen.
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> Grüße,
>
> sharth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 13.12.2008 | | Autor: | sharth |
Hallo,
die Vorgehensweise ist mir aus der Vorlesung bekannt. Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich die Folgen vereinfache, damit die Monotonie abgeschätzt werden kann. Bisher habe ich nur folgendes gemacht:
[mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^{n+1}\*(n+1)^2}{3^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{2^n*n^2}{3^n} [/mm] = ?
[mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{(n+1)!^2}{2(n+1)!} [/mm] - [mm] \bruch{(n!)^2}{(2n)!} [/mm] = ?
Aber wie vereinfache ich die Gleichungen nun damit ich die Monotonie abschätzen kann. An der Stelle mangelt es mir etwas an Erfahrung
Schönen Abend!
Gruß,
sharth
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Hallo sharth,
> Hallo,
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> die Vorgehensweise ist mir aus der Vorlesung bekannt. Mein
> Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich die Folgen
> vereinfache, damit die Monotonie abgeschätzt werden kann.
> Bisher habe ich nur folgendes gemacht:
>
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^{n+1}\*(n+1)^2}{3^{n+1}}[/mm] - [mm]\bruch{2^n*n^2}{3^n}[/mm] = ?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da steht doch wohl eher [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] oder wie?
Für monotones Fallen der Folge müsste diese Differenz <0 sein.
Mache mal die Brüche gleichnamig, erweitere dazu den hinteren mit 3, dann den Zähler zusammenfassen.
Da der Nenner >0 ist, reduziert sich zu prüfende Ungleichung auf "Zähler"<0
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> [mm](a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{(n+1)!^2}{2(n+1)!}[/mm] -
> [mm]\bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm] = ?
Hier würde ich definitiv den anderen Ansatz [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ [/mm] prüfen, es hebt sich mit den Fakultäten so einiges weg.
Bedenke zB. [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$
[/mm]
>
> Aber wie vereinfache ich die Gleichungen nun damit ich die
> Monotonie abschätzen kann. An der Stelle mangelt es mir
> etwas an Erfahrung
>
> Schönen Abend!
>
> Gruß,
>
> sharth
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 14.12.2008 | | Autor: | sharth |
Guten Abend,
ich habe die Gleichungen versucht zu bearbeiten:
[mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^{n+1}*(n+1)^2}{3^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{2^n\cdot{}n^2}{3^n}=\bruch{2^n*2*(n^2+2n+1)-2^n*n^2}{3^{n+1}}
[/mm]
Jetzt stehe ich wieder auf dem Schlauch. Ich sehe nun, dass der Zähler bei [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] kleiner ist als der Nenner. Die Folge bleibt immer > 0 und ist deshalb streng monoton steigend??
Aber wie kann ich den Ausdruck noch weiter vereinfachen?
Mit der Fakultät komme ich leider gar nicht klar. Wäre nett wenn mir jemand einige Schritte erläutern könnte, wie man vorgehen könnte.
Soweit bin ich gekommen:
[mm] \bruch{\bruch{((n+1)!)^2}{(2*(n+1))!}}{\bruch{(n!)^2
}{(2n)!}} [/mm] = [mm] \bruch{((n+1)!)^2 * (2n)!}{(2*(n+1))!*(n!)^2}= \bruch{(n!(n+1))^2 * (2n)!}{(2*(n+1))!*(n!)^2}
[/mm]
(Kann ich den Doppelbruch größer darstellen lassen?)
Leider sehen ich nicht, an welcher Stelle ich hier kürzen könnte.
Für Hilfestellung wäre ich dankbar.
MFG,
sharth
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> Guten Abend,
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> ich habe die Gleichungen versucht zu bearbeiten:
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> [mm](a_{n})_{n\in\IN}:=\bruch{2^{n+1}*(n+1)^2}{3^{n+1}}[/mm] -
> [mm]\bruch{2^n\cdot{}n^2}{3^n}=\bruch{2^n*2*(n^2+2n+1)-2^n*n^2}{3^{n+1}}[/mm]
Hallo,
ach Du liebe Zeit!
Kannst Du vielleicht mal übungshalber
[mm] \bruch{7}{3^4} -\bruch{5}{3^5} [/mm] auf einen gemeinsamen Nenner bringen?
> Mit der Fakultät komme ich leider gar nicht klar. Wäre nett
> wenn mir jemand einige Schritte erläutern könnte, wie man
> vorgehen könnte.
> Soweit bin ich gekommen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{((n+1)!)^2}{(2*(n+1))!}}{\bruch{(n!)^2
}{(2n)!}}[/mm] = [mm]\bruch{((n+1)!)^2 * (2n)!}{(2*(n+1))!*(n!)^2}= \bruch{\blue(n!(n+1))^2 }* (2n)!}{(\green{2*(n+1)})!*(n!)^2}[/mm]
Im blauen Teil verwende die Gesetze fürs Rechnen mit Potenzen.
Das grüne =2n+2.
Schreibe dann (2n+2)! also (2n)!*...*...
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>
> (Kann ich den Doppelbruch größer darstellen lassen?)
Keine Ahnung, aber man kann ihn gut lesen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 14.12.2008 | | Autor: | sharth |
Hallo Angela,
> ach Du liebe Zeit!
Ich habe doch "nur" die 3 im Zähler unterschlagen oder was ist sonst noch falsch? Da war ich mit dem Editor etwas schlampig, sorry.
[mm] \bruch{2^n*2*(n^2+2n+1)-2^n*n^2*3}{3^{n+1}}
[/mm]
> Kannst Du vielleicht mal übungshalber
>
> [mm]\bruch{7}{3^4} -\bruch{5}{3^5}[/mm] auf einen gemeinsamen Nenner
> bringen?
So vielleicht:
[mm] \bruch{7*3}{3^4*3} -\bruch{5}{3^5}
[/mm]
Hoffe ich hab mich jetzt nicht völlig verhauen.
Schönen Abend,
sharth
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> Hallo Angela,
>
> > ach Du liebe Zeit!
>
> Ich habe doch "nur" die 3 im Zähler unterschlagen oder was
> ist sonst noch falsch? Da war ich mit dem Editor etwas
> schlampig, sorry.
>
> [mm]\bruch{2^n*2*(n^2+2n+1)-2^n*n^2*3}{3^{n+1}}[/mm]
[mm] =\bruch{2^n*(2*n^2+4n+2-n^2*3)}{3^{n+1}},
[/mm]
und nun muß man überlegen, ob der Zähler größer oder kleiner als Null ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 14.12.2008 | | Autor: | sharth |
Hallo,
> und nun muß man überlegen, ob der Zähler größer oder
> kleiner als Null ist.
okay. War das denn falsch was ich vorhin geschrieben habe.
> Ich sehe nun, dass der Zähler bei $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm]
> kleiner ist als der Nenner. Die Folge bleibt immer > 0 und ist deshalb
> streng monoton steigend??
Vielleicht hätte ich hinzufügen sollen, dass der Zähler nicht kleiner wird als null. Hoffe es ist richtig.
Gruß,
sharth
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> Hallo,
>
> > und nun muß man überlegen, ob der Zähler größer oder
> > kleiner als Null ist.
>
> okay. War das denn falsch was ich vorhin geschrieben habe.
Hallo,
was von dem, was Du vorhin geschrieben hast, meinst Du denn.
Wir behanden hier ja gerade zwei Folgen, und ein kleiner Hinweis darauf, worüber gerade gesprochen wird, wäre nicht übel.
>
> > Ich sehe nun, dass der Zähler bei $
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
> > kleiner ist als der Nenner. Die Folge bleibt immer > 0 und
> ist deshalb
> > streng monoton steigend??
Bei welcher Folge? Und: redest Du gerade über den Quotienten oder über die Differenz. Ich blicke nicht durch.
> Vielleicht hätte ich hinzufügen sollen, dass der Zähler
> nicht kleiner wird als null. Hoffe es ist richtig.
Bei der Folge bei der Du [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] gebildet hast?
Wie begründest Du, daß der Zähler nicht kleiner wird als 0? Ich kriege das Gegenteil heraus.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mo 15.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn mal [mm] a_n/a_{n+1} [/mm] gebildet und soweit wie möglich gekürzt. Dann kann man doch erstmal sehen ob das >1 oder <1 ist oder ob das ab einem n so ist.
Differenz ist hier schlecht!
Gruss leduart
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