Monotonie einer Kurve < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche das Monotonieverhalten der Kurve!
[mm] f(x)=3x^2-2x-6 [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zur obrigen Aufgabe.Und zwar wie kann ich sehen ob die kurve monoton steigend oder monoton fallend ist?
Zuesrt muss man doch die Gleichung mit Null gleichsetzen um dann später die nullstellen mit der p-q formel auszurechnen?
In der obrigen Aufgabe kommt x1=-1,1 und x2=1,8.Ist das richtig so?
Was muss ich dann machen?
MfG,
tokhey-Itho
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Untersuche das Monotonieverhalten der Kurve!
>
> [mm]f(x)=3x^2-2x-6[/mm]
Und zwar wie kann
> ich sehen ob die kurve monoton steigend oder monoton
> fallend ist?
Nun, die erste Ableitung (Steigung der Kurve in einem Punkt) gibt dir Auskunft über die Monotonie. Die erste Ableitung sagt dir ja etwas über die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt x.
Was ist, wenn der Graph steigt? Was weist du dann über die Steigung der Tangente? Was ist, wenn der Graph fällt? Was weist du dann über die Steigung der Tangente?
> Zuesrt muss man doch die Gleichung mit Null gleichsetzen
> um dann später die nullstellen mit der p-q formel
> auszurechnen?
Nun, du hast soweit ich das überblicke einfach f(x)=0 gesetzt. Du hast also die Nullstellen deiner Funktion berechnet. Das hilft dir nicht viel, weil die Nullstellen deiner FUnktion nicht so viel über die Steigung aussagen.
> In der obrigen Aufgabe kommt x1=-1,1 und x2=1,8.Ist das
> richtig so?
> Was muss ich dann machen?
Du musst die erste Ableitung deiner Funktoin berechnen, und diese Nullsetzen. Dann weist du etwas über die Monotonie. Ich sehe aber, dass du in der 10. Klasse bist, und von daher weiß ich nicht, ob du schon ableiten kannst.
Wenn nein, dann kann man hier auch anders argumentieren:
Was weist du denn über eine Parabel? (Deine Funktion ist ja eine Parabel). Da gibt es doch so etwas wie einen Scheitelpunkt, den man berechnen kann. Was weist du über den Scheitelpunkt einer Parabel? Er ist entweder der Punkt, wo dein Funktionswert der Parabel am größten ist, oder am kleinsten, je nachdem, wie das Vorzeichen vor dem [mm] x^2 [/mm] ausschaut. D.h. du kannst dir den Scheitelpunkt berechnen, und dann sagen, was links und was rechts vom Scheitelpunkt deiner Parabel ist.
Was weist du z.B. über die Normalparabel [mm] f(x)=x^2? [/mm] Sie hat im Punkt P(0,0) ihren Tiefpunkt und rechts von der 0 steigt sie, und links von 0 fällt sie. Diesen Gedanken kannst du dann ganz einfach auf deine Parabel übertragen, falls du noch nicht ableiten kannst.
LG
Andy
>
> MfG,
> tokhey-Itho
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mo 28.04.2008 | | Autor: | manolya |
Tagchen
Könnte jemand diese Aufgabe so erklären, dass es für Oberstufenschüler verständlich wird???
Danke im voraus.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 28.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Tagchen
>
> Könnte jemand diese Aufgabe so erklären, dass es für
> Oberstufenschüler verständlich wird???
Wo hast du denn Probleme? Der Begriff der Ableitung sollte dir ein Begriff sein. Jetzt suche mal die Nullstellen der Ableitung. Das sind nämlich genau die Stellen, an denen die Monotonie Wechseln könnte.
Hast du die Nullstellen der Ableitung sortiere diese mal Nach Grösse, Ich nenne sie mal [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] schaust du die den Wert der Ableitung in den jeweiligen Intervallen zwischen den Nullstellen, und rechts und Links davon an.
Also folgende Intervalle:
[mm] I_{1}=]-\infty;x_{1}[
[/mm]
[mm] I_{2}=]x_{1};x_{2}[
[/mm]
[mm] I_{3}=]x_{2};x_{3}[
[/mm]
[mm] I_{4}=]x_{3};+\infty[
[/mm]
Jetzt nimm dir mal einen Wert [mm] x_{m} [/mm] aus den jeweiligen Intervallen her. Intervallen her, und berechne [mm] f'(x_{m}). [/mm] Ist [mm] f'(x_{m})\green{<}(\blue{>})0, [/mm] so ist f auf dem entsprechenden Intervall I monoton fallend(steigend).
BSP: f(x)=-x³+x
f'(x)=-3x²+1
Also 0=-3x²+1
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Also: [mm] I_{1}=]-\infty;-\wurzel{\bruch{1}{3}}[
[/mm]
[mm] I_{2}=]-\wurzel{\bruch{1}{3}};\wurzel{\bruch{1}{3}}[
[/mm]
[mm] I_{3}=]\wurzel{\bruch{1}{3}};\infty[
[/mm]
Nehmen wir eine Zahl aus [mm] I_{1}, [/mm] z.B. x=-4
f'(-4)=-47<0, also fällt f(x) im Bereich von [mm] I_{1}
[/mm]
Nehmen wir eine Zahl aus [mm] I_{2}, [/mm] z:b: x=0
f'(0)=1>0, also steigt f(x) in [mm] I_{2}
[/mm]
Für [mm] I_{3} [/mm] gilt: f(x) fällt (warum, kannst du jetzt ja mal zeigen)
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 28.04.2008 | | Autor: | manolya |
Kommte bei deinem Beispiel bei f'(x) folgende Nullstellen [mm] x_{1/2}= \pm \wurzel{\bruch{1}{3}}??
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 28.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Kommte bei deinem Beispiel bei f'(x) folgende Nullstellen
> [mm]x_{1/2}= \pm \wurzel{\bruch{1}{3}}??[/mm]
Stimmt, da ist ein falscher Befehl im Formeleditor meiner Antwort. Ich behebe ihn.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 28.04.2008 | | Autor: | manolya |
;)
Im $ [mm] I_{3} [/mm] $ fällt es,weil...
.... f'(2)= [mm] -3*2^{2}+1 [/mm] = -11 < 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 28.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> ;)
>
> Im [mm]I_{3}[/mm] fällt es,weil...
> .... f'(2)= [mm]-3*2^{2}+1[/mm] = -11 < 0
Korrekt
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manolya,
> Tagchen
>
> Könnte jemand diese Aufgabe so erklären, dass es für
> Oberstufenschüler verständlich wird???
unter der Voraussetzung der Mitarbeit des Oberstufenschülers:
Ja.
Andernfalls: Nein!
Es geht hier darum, dass Du etwas lernst. Wenn Du eine Antwort liest und einfach nur mit "Verstehe ich nicht!" darauf reagierst, ist dabei keinem geholfen.
Wenn Du etwas nicht verstehst, dann frage bitte da auch konkret nach, damit wir auch wissen, was Du nicht verstehst.
Das kann ja auch durchaus sein, dass Du Lücken hast oder Dir gewisse Dinge (wie der Begriff der Ableitung) noch nicht geläufig sind, oder dass Du keine Ahnung von Extremstellen hast oder oder oder...
Da wohl keiner von uns im Besitz einer funktionierenden Glaskugel ist, die uns das mitteilt, liegt es an Dir, uns das mitzuteilen. Denn je nach Deinem Wissensstand kann man das ganze komplizierter aufziehen (per Definitionem, z.B. bei "monoton wachsend":
Wir suchen Intervallstücke $I [mm] \subset \IR$ [/mm] so, dass für $x,y [mm] \in [/mm] I$ aus $x < y$ stets auch $f(x) [mm] \le [/mm] f(y)$ folgt...)
oder eben einfacher (die Funktion ist stetig, hat Extremstellen an ...); oder:
Die Funktion hat die Ableitung ..., woraus folgt, dass monoton ... auf ... ist usw...
Der allerdings sogar für einen Schüler der Neunten Klasse einfachste Weg wäre es:
[mm] f(x)=3x^2-2x-6=3\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)-6=3 \left(\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}\right)-6=3 \left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{57}{9}
[/mm]
zu schreiben. Dann weiß' man nämlich, dass der Graph dieser Funktion eine nach oben geöffnete Parabel im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, deren Scheitelpunkt mit [mm] $S\left(x_S,y_S\right) [/mm] = [mm] S\left(\frac{1}{3},-\frac{57}{9}\right)$ [/mm] gegeben ist.
Die Funktion $f$ ist demnach also im Intervall [mm] $(-\infty,x_S]=\left(-\infty,\frac{1}{3}\right]$ [/mm] (streng) monoton fallend, und sie ist im Intervall [mm] $\left[\frac{1}{3},\infty\right)$ [/mm] (streng) monoton wachsend.
Um [mm] $x_S$, [/mm] also den $x$-Wert des Scheitelpunktes der obigen Parabel zu bestimmen (mehr brauchst Du ja offensichtlich nicht), kann man natürlich schon, in diesem speziellen Fall, so vorgehen, dass man erstmal die Nullstellen von [mm] $f(x)=3x^2-2x-6$ [/mm] ermittelt und von diesen dann den Mittelwert bildet. Das ist aber kein allgemeingültiges Schema, sondern klappt hier, weil einfach eine sehr spezielle Funktion vorliegt (Funktion 2. Grades).
Gruß,
Marcel
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