Monotonie im R2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine Reihe von Gleichungssystemen die jeweils aus zwei Gleichungen und zwei unbekannten bestehen. Nun möchte ich zeigen, dass es eine eindeutige Zuordnung gibt. Man sagte mir, dass es genau dann eine eindeutige Zurodnung gäbe, wenn die jeweilige Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR^{2}
[/mm]
streng monoton verläuft.
Ich bin allerdings überfragt, wie man da vorgeht.
Kann mir jemand sagen, wie ein solcher "Beweis der eindeutigen Zuordnung" aussehen könnte?
Hier zwei Beispiele:
1. [mm] \vektor{m \\ v}=\vektor{n*p \\ n*p*(1-p)}
[/mm]
Als Ergebnis habe ich raus:
[mm] \vektor{n \\ p}=\vektor{\bruch{m^{2}}{m-v} \\ \bruch{m-v}{m}}
[/mm]
Wie kann ich jetzt beweisen, dass diese Zuordnung eindeutig ist?
2. [mm] \vektor{m \\ v}=\vektor{e^{b+\bruch{1}{2}*c^{2} }\\ e^{2*b+c^{2}}*(e^{c^{2}}-1)}
[/mm]
Als Ergebnis habe ich raus:
[mm] \vektor{b \\ c}=\vektor{ln(\bruch{m^{2}}{\wurzel{m^{2}+v}}) \\ \wurzel{2}*\wurzel{ln(\bruch{\wurzel{m^{2}+v}}{m})}}
[/mm]
Wie kann ich jetzt beweisen, dass diese Zuordnung eindeutig ist?
Danke für alle Hinweise, Hilfestellungen und Lösungswege.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Reihe von Gleichungssystemen die jeweils aus
> zwei Gleichungen und zwei unbekannten bestehen. Nun möchte
> ich zeigen, dass es eine eindeutige Zuordnung gibt. Man
> sagte mir, dass es genau dann eine eindeutige Zurodnung
> gäbe, wenn die jeweilige Funktion [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{2}[/mm]
> streng monoton verläuft.
Dann sag ich Dir, dass derjenige, der das gesagt hat ein Dummkopf ist !
Monotonie im [mm] \IR^2 [/mm] ? Wie soll das gehen ?
> Ich bin allerdings überfragt, wie man da vorgeht.
> Kann mir jemand sagen, wie ein solcher "Beweis der
> eindeutigen Zuordnung" aussehen könnte?
>
> Hier zwei Beispiele:
> 1. [mm]\vektor{m \\ v}=\vektor{n*p \\ n*p*(1-p)}[/mm]
>
> Als Ergebnis habe ich raus:
>
> [mm]\vektor{n \\ p}=\vektor{\bruch{m^{2}}{m-v} \\ \bruch{m-v}{m}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie kann ich jetzt beweisen, dass diese Zuordnung eindeutig
> ist?
Wenn Du mit "eindeutig" "injektiv" meinst, so hast Du doch schon alles gezeigt !
Denn aus
$\vektor{n_1\cdot{}p_1 \\ n_1\cdot{}p_1\cdot{}(1-p_1)}= \vektor{m \\ v}=\vektor{n_2\cdot{}p_2 \\ n_2\cdot{}p_2\cdot{}(1-p_2)} $ folgt
$ \vektor{n_1 \\ p_1}=\vektor{\bruch{m^{2}}{m-v} \\ \bruch{m-v}{m}} = \vektor{n_2 \\ p_2$
FRED
>
> 2. [mm]\vektor{m \\ v}=\vektor{e^{b+\bruch{1}{2}*c^{2} }\\ e^{2*b+c^{2}}*(e^{c^{2}}-1)}[/mm]
>
> Als Ergebnis habe ich raus:
>
> [mm]\vektor{b \\ c}=\vektor{ln(\bruch{m^{2}}{\wurzel{m^{2}+v}}) \\ \wurzel{2}*\wurzel{ln(\bruch{\wurzel{m^{2}+v}}{m})}}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt beweisen, dass diese Zuordnung eindeutig
> ist?
>
> Danke für alle Hinweise, Hilfestellungen und Lösungswege.
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Leider ist meine Frage damit nicht wirklich beantwortet.
Wie sieht denn das mit dem zweiten Fall aus?
Gibt es dort auch eine eindeutige Lösung?
Und allgemein: hat jedes nichtlineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung?
Und wenn nein, wie kann ich zeigen, ob die Lösung die ich heraus habe eine eindeutige Zuornung (eindeutig in dem Sinne, dass es keine andere reelle Zuordnung gibt, die das Gleichungssystem erfüllt) darstellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 20.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, natürlich hat nicht jedes nichtlineare GS eine eindeutige Lösung, das gilt ja schon in R mit etwa [mm] x^2= [/mm] 1
oder [mm] x^2=1 y^2=2 [/mm] im [mm] R^2
[/mm]
Du solltest dein GS sagen was parameter, was Unbekannte sind.
nur wenn die vorkommenden fkt injektiv sind, sind die GS garantiert eindeutig lösbar, falls sie eine Lösung haben.
Was willst du denn wirklich zeigen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
>
> Leider ist meine Frage damit nicht wirklich beantwortet.
> Wie sieht denn das mit dem zweiten Fall aus?
> Gibt es dort auch eine eindeutige Lösung?
>
> Und allgemein: hat jedes nichtlineare Gleichungssystem eine
> eindeutige Lösung?
> Und wenn nein, wie kann ich zeigen, ob die Lösung die ich
> heraus habe eine eindeutige Zuornung (eindeutig in dem
> Sinne, dass es keine andere reelle Zuordnung gibt, die das
> Gleichungssystem erfüllt) darstellt?
I.A. ist das nicht zu beantworten. Es hängt von den konkreten Formeln und den Argumentbereichen ab. Man erst einmal mal nur folgendes sagen:
Gegeben ist ein System
[mm] x=g(u,v)\in [/mm] X
[mm] y=h(u,v)\in [/mm] Y
mit [mm] (u,v)\in A\subseteq U\times [/mm] V und dem Bildbereich [mm] B=\{(g(u,v),h(u,v)):(u,v)\in A\}\subseteq X\times [/mm] Y
Bijektivität (bezüglich A und B) liegt vor, wenn
[mm] g(u_1,v_1)=g(u_2,v_2)
[/mm]
[mm] h(u_1,v_1)=h(u_2,v_2)
[/mm]
keine Lösungen in A hat. Wenn Du das zeigen kannst und von
x=g(u,v)
y=h(u,v)
[mm] (u,v)\in [/mm] A
äquivalent umformen kannst nach
u=G(x,y)
v=H(x,y)
[mm] (x,y)\in [/mm] B
kannst Du dir sicher sein, eine eindeutige Auflösung zu haben.
Wenn man nun Dein erstes System
m=np und v=np(1-p)
mit [mm] (n,p)\in A:=\IN\times [/mm] (0,1) betrachtet, so hat
[mm] n_1p_1=n_2p_2
[/mm]
[mm] n_1p_1(1-p_1)=n_2p_2(1-p_2)
[/mm]
für [mm] (n_1,p_1),(n_2,p_2)\in [/mm] A keine Lösung mit [mm] (n_1,p_1)\not=(n_2,p_2).
[/mm]
Verschiedene (n,p) werden also auf verschiedene (m,v) abgebildet und die Abbildung vermittelt zwischen [mm] A=\IN\times(0,1) [/mm] und [mm]B=\{(m,v):m\in\IR^{+},v=m(1-m/n),n\ge [m]+1 \}[/mm] bijektiv. [m] soll der Vorkommaanteil von m sein.
Auf [mm] A=\IR^2 [/mm] sieht das aber schon ganz anders aus:
[mm] n_1p_1=n_2p_2 \wedge n_1p_1(1-p_1)=n_1p_1(1-p_2)
[/mm]
[mm] \gdw n_1p_1=n_2p_2 \wedge n_1p_1(1-p_1)=n_1p_1(1-p_2)
[/mm]
[mm] \gdw n_1p_1=n_2p_2 \wedge n_1p_1(p_2-p_1)=0
[/mm]
[mm] \gdw n_1p_1=n_2p_2 \wedge (n_1p_1=0\vee p_2=p_1)
[/mm]
[mm] \gdw n_1p_1=n_2p_2 \wedge (n_1=0\vee p_1=0\vee p_2=p_1)
[/mm]
[mm] \gdw (n_1=0\wedge n_2p_2=0) \vee (p_1=0\wedge n_2p_2=0)\vee (p_2=p_1)\wedge n_1=n_2))
[/mm]
[mm] \gdw (n_1=0\wedge (n_2=0\vee p_2=0)) \vee (p_1=0\wedge (n_2=0\vee p_2=0))\vee (p_2=p_1)\wedge n_1=n_2))
[/mm]
[mm] \gdw (n_1=0\wedge n_2=0)\vee(n_1=0\wedge p_2=0)) \vee (p_1=0\wedge n_2=0)\vee(p_1=0\wedge p_2=0)))\vee (p_2=p_1)\wedge n_1=n_2))
[/mm]
Wenn also jeweils zwei der Werte [mm] n_1,n_2,p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] verschwinden gibt es das identische Bilder, was bedeutet das die Abbildung bezüglich des ursprünglichen Argument- und Bildebereiches nicht injektiv ist.
Das merkt man auch beim Umformen
[mm]m=np\wedge v=np(1-p)[/mm]
[mm]\gdw m=np \wedge v=m(1-p)[/mm]
[mm]\gdw m=np \wedge mp=m-v[/mm]
[mm]\gdw m=np \wedge p=(m-v)/m)\wedge m\not=0[/mm]
[mm]\gdw m=n(m-v)/m \wedge p=(m-v)/m)\wedge m\not=0[/mm]
[mm]\gdw n=m^2/(m-v) \wedge p=(m-v)/m) \wedge m\not=0 \wedge m\not=v[/mm]
Das heißt jetzt [mm] m=np\wedge [/mm] v=np(1-p) ist äquivalent umformbar zu [mm] n=m^2/(m-v) \wedge [/mm] p=(m-v)/m), wenn gilt [mm] m\not=0 \wedge m\not=v.
[/mm]
Die ausgeschlossenen Fälle muss man separat untersuchen:
m=v=0: [mm] 0=np\wedge0=np(1-p), [/mm] d.h. [mm] n=0\vee [/mm] p=0, d.h. die komplette n- und p-Achse wird auf (0,0) abgebildet.
[mm] m=v\not=0: [/mm] np=np(1-p), d.h. [mm] np^2=0,d.h. n=0\vee [/mm] p=0, also wie vorstehend.
[mm] m=0\wedge v\not=m: [/mm] Nicht realisierbar.
Zusammenfassend kann man hier sagen, dass die Abbildung eine Umkehrung auf [mm] A'=A\backslash((0,\IR)\cup(\IR,0)) [/mm] hat. Der Bildbereich ist dann [mm] B'=B\backslash(\{(t,t):t\in\IR\}\cup(0,\IR))
[/mm]
Fazit: Wenn man kein Hellseher oder Überflieger oder das Problem nicht trivial ist, hilft
1) das Wissen um Äquivalenzumformungen
2) eine penible Buchführung und Mitschleppen der Relationen (so dass man jederzeit äquivalent zurück kommt)
3) ein Mitführen der Ausschlüsse, die sich beim Umformen ergeben (auch wenn sie mittendrin auftreten, muss man sie sich dann von Anfang an als wirksam denken und die ausgeschlossenen Fälle separat behandeln)
4) Training
Aber auch dann bleibt es spannend (soll heißen: bin mit nicht sicher ob das oben fehlerfrei ist)![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
LG
gfm
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Puh... ich werde mich da mal durcharbeiten,
aber danke schon mal für die Mühen und Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> 2. [mm]\vektor{m \\ v}=\vektor{e^{b+\bruch{1}{2}*c^{2} }\\ e^{2*b+c^{2}}*(e^{c^{2}}-1)}[/mm]
>
> Als Ergebnis habe ich raus:
>
> [mm]\vektor{b \\ c}=\vektor{ln(\bruch{m^{2}}{\wurzel{m^{2}+v}}) \\ \wurzel{2}*\wurzel{ln(\bruch{\wurzel{m^{2}+v}}{m})}}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt beweisen, dass diese Zuordnung eindeutig
> ist?
>
> Danke für alle Hinweise, Hilfestellungen und Lösungswege.
Schreibt man für [mm] (b,c)\in\IR^2
[/mm]
[mm] m=e^be^{c^2/2}=:\wurzel{xy}
[/mm]
[mm] v=e^{2b}e^{c^2}(e^{c^2}-1)=:xy(y-1)
[/mm]
mit Hilfsvariablen x,y, so ist [mm] x\in\IR^+ [/mm] und [mm] y\in[1,\infty) [/mm] und es gilt [mm] m\in\IR^+ [/mm] und [mm] v\in\IR^+_0.
[/mm]
[mm] m=\wurzel{xy}\wedge [/mm] v=xy(y-1)
[mm] \gdw m=\wurzel{xy}\wedge v=m^2(y-1)
[/mm]
[mm] \gdw m=\wurzel{xy}\wedge (v+m^2)/m^2=y
[/mm]
[mm] \gdw m=\wurzel{xy}\wedge (v+m^2)/m^2=y
[/mm]
[mm] \gdw m^2=xy\wedge (v+m^2)/m^2=y
[/mm]
[mm] \gdw m^2=x(v+m^2)/m^2\wedge (v+m^2)/m^2=y
[/mm]
[mm] \gdw m^4/(v+m^2)=x\wedge (v+m^2)/m^2=y
[/mm]
[mm] \gdw m^4/(v+m^2)=e^{2b}\wedge (v+m^2)/m^2=e^{c^2}
[/mm]
[mm] \gdw \ln(m^2/\wurzel{v+m^2})=b\wedge \ln((v+m^2)/m^2)=c^2
[/mm]
Bis hierhin war alles äquivalent. Nun ergeben sich zwei Lösungen:
[mm] \gdw \ln(m^2/\wurzel{v+m^2})=b\wedge \pm\wurzel{\ln((v+m^2)/m^2)}=c
[/mm]
Wenn man also entweder [mm] (b,c)\in\IR\times\IR^+_0 [/mm] oder [mm] (b,c)\in\IR\times\IR^- [/mm] betrachtet, wird die Umkehrung eindeutig.
LG
gfm
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