Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_n)_(n∈N_0) [/mm] mit
[mm] a_0=1, a_{n+1}=1+\bruch{1}{2}a_n [/mm] , [mm] n\in\IN_0
[/mm]
monoton und beschränkt ist, und bestimmen Sie den Grenzwert |
Beschränkt:
[mm] a_n [/mm] = {1; 1,5 ; 2 ; 2,5 , ...}
Vermutung: [mm] a_n \in [/mm] [1, [mm] \infty [/mm] ) für alle n /in /IN
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{2}a_n [/mm]
Ich könnte es irgendwie mit vollständiger Induktion beweisen, doch ich komme nicht drauf wie. Könnte mir jemand weiter helfen?
Monotonie
i.A.
[mm] a_0 [/mm] = 1 < 1,5 = [mm] a_1
[/mm]
i.S
[mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{2}a_n [/mm] > a_(n) = 1 [mm] +\bruch{1}{2}a_(n-1)
[/mm]
An der Stelle weiß ich leider auch nicht weiter.
Unser Tutor hat es mit einen bestimmten Invervall gemacht und die Zahlen einfach eingesetzt. Ich habe hier als Invervall, dass es bis ins unendliche geht, deswegen weiß ich nicht weiter.
Könnte mir jemand helfen?
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Hallo,
das Zitieren klappt leider nicht ...
So kann ich nix dranschreiben ...
Deine berechneten [mm] $a_n$ [/mm] stimmen wohl nicht, wie kommst du auf $2,5$ ??
So wie ich das sehe, ist die Folge durch 2 nach oben beschränkt.
Zu zeigen ist also:
[mm] $a_n$ [/mm] ist monoton steigend und [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Und da ist Induktion sicher ein probates Mittel ...
(Wenn es nicht gar direkt geht)
Aber die Induktion ist kinderleicht:
IA ist klar:
IV: [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für ein bel., aber festes [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Zeige du nun, dass dann gefälligst auch [mm] $a_{n+1}\le [/mm] 2$ ist ...
Was du bei der Monotonie machst, ist mir schleierhaft ...
Wie lautet die Def. von "monoton steigend"?
Rechne das geradeheraus nach ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ups, vertan, Entschuldigung. Werde es gleich korrigieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
[mm] a_0 [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2}a_n [/mm] , n ∈ [mm] /IN_0
[/mm]
Beschränktheit
[mm] a_n [/mm] = {1 ; 1,5 ; 1,75 ; 1,875 ; 1,9375 ; ... }
[mm] a_n \in [/mm] [1;2] für alle n /in [mm] /IN_0
[/mm]
i.A.
[mm] a_0 [/mm] = 1
i.S.
[mm] a_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2}a_n \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}*2 [/mm] = 2
[mm] a_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2}a_n \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}*1 [/mm] = 1,5 > 1
-> gilt
Monotonie:
i.A.
[mm] a_0 [/mm] = 1 < 1,5 = [mm] a_1
[/mm]
i.S.
[mm] a_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2}a_n [/mm] > 1 + [mm] \bruch{1}{2}a_{n-1} [/mm] = [mm] a_n
[/mm]
Könntest du mir hier weiterhelfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Di 03.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_0[/mm] = 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}a_n[/mm] , n ∈ [mm]/IN_0[/mm]
>
> Beschränktheit
> [mm]a_n[/mm] = {1 ; 1,5 ; 1,75 ; 1,875 ; 1,9375 ; ... }
>
> [mm]a_n \in[/mm] [1;2] für alle n /in [mm]/IN_0[/mm]
>
> i.A.
> [mm]a_0[/mm] = 1
Hier solltest Du noch die Induktionsvor. (IV) formulieren:
IV: für ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] gelte 1 [mm] \le a_n \le [/mm] 2.
>
> i.S.
> [mm]a_{n+1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}a_n \le[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}*2[/mm] = 2
> [mm]a_{n+1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}a_n \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}*1[/mm] = 1,5
> > 1
> -> gilt
>
> Monotonie:
> i.A.
> [mm]a_0[/mm] = 1 < 1,5 = [mm]a_1[/mm]
Auch hier fehlt die IV.
>
> i.S.
> [mm]a_{n+1}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2}a_n[/mm] > 1 + [mm]\bruch{1}{2}a_{n-1}[/mm] =
> [mm]a_n[/mm]
>
>
> Könntest du mir hier weiterhelfen ?
Wozu ? Du hast es doch.
FRED
>
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