Monotonie und Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Und zwar möchte ich zeigen, dass
[mm] \wurzel{n^{2} +2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2} +1} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist (n gegen unendlich). Aber hab, ehrlich gesagt, keine Ahnung, wie ich das hier anstellen soll. Danke für Hilfe.
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> Hallo.
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> Und zwar möchte ich zeigen, dass
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> [mm]\wurzel{n^{2} +2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2} +1}[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist (n gegen unendlich). Aber hab, ehrlich
> gesagt, keine Ahnung, wie ich das hier anstellen soll.
> Danke für Hilfe.
dass es eine nullfolge ist geht ja über limes. hierzu solltest du den obigen term als a-b interpretieren und mit [mm] \frac{a+b}{a+b} [/mm] erweitern!
und wenn das oben [mm] a_n [/mm] sein soll, dann zeige für monoton fallend, dass
[mm] a_n>a_{n+1}
[/mm]
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..verstehe. Geht das dann wie folgt (also erstmal Nullfolge)?
[mm] \bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}+2-(n^{2}+1)}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}
[/mm]
Ich hab mal gesehn, dass wenn dieser Ausdruck kleiner [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist, dann ist das auch eine Nullfolge (warum eigentlich???) Also:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}$ [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Stimmt das erstmal so?
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> Hmm..verstehe. Geht das dann wie folgt (also erstmal
> Nullfolge)?
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> [mm]\bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{n^{2}+2-(n^{2}+1)}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
hier nun den grenzwert bilden
>
> Ich hab mal gesehn, dass wenn dieser Ausdruck kleiner
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist, dann ist das auch eine Nullfolge (warum
> eigentlich???) Also:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
das dürfte mit dem sandwich lemma zusammenhängen
0 [mm] \le\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}\le\bruch{1}{n}
[/mm]
links der "grenzwert" ist null, und rechts die folge geht auch gegen 0, also muss der grenzwert des inneren auch gegen 0 gehen. dafür muss man aber noch nachweisen, dass die hintere ungleichung gilt.
und ob das so einfacher ist, wage ich zu bezweifeln
>
> Stimmt das erstmal so?
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ok. Aber darf ich jetzt, wenn ich nun den Grenzwert nehme bzw. den Grenzübergang mache, einfach sagen, dass das Gesamte gegen 0 geht?
Und wegen der Monotonie. Natürlich kenne ich diese Definition. Nur wie wendet man das hier an? Da steht dann doch:
[mm] a_{n} \le [/mm] _ [mm] a_{n+1}
[/mm]
Also:
[mm] \wurzel{n^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{(n+1)^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{(n+1)^{2}+1}
[/mm]
Etwas gerechnet:
[mm] \wurzel{n^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{n^{2} + 2n + 3} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+2n+2}
[/mm]
Aber was nun???
EDIT: Ich glaube, dass ich hier grad "monoton steigend" zeigen würde, aber möchte ja monoton fallend zeigen. also muss die Ungleichung genau anders herum sein. Trotzdem wäre jede Hilfe gut ;)
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> Hmm..ok. Aber darf ich jetzt, wenn ich nun den Grenzwert
> nehme bzw. den Grenzübergang mache, einfach sagen, dass
> das Gesamte gegen 0 geht?
wieso sagen? der limes zeigt dir doch explozit an, dass es gegen 0 geht. da braucht man doch keine prosa für
>
> Und wegen der Monotonie. Natürlich kenne ich diese
> Definition. Nur wie wendet man das hier an? Da steht dann
> doch:
>
> [mm]a_{n} \le[/mm] _ [mm]a_{n+1}[/mm]
das hier bedeutet: streng monoton steigend...
>
> Also:
>
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{(n+1)^{2}+2}[/mm]
> - [mm]\wurzel{(n+1)^{2}+1}[/mm]
>
> Etwas gerechnet:
>
>
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{n^{2} + 2n + 3}[/mm]
> - [mm]\wurzel{n^{2}+2n+2}[/mm]
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> Aber was nun???
quadrieren könnte sich anbieten, aber dann wären die wurzeln immer noch nicht komplett weg.. evtl sieht hier ja jemand nen trick
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>
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gruß tee
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Huhu,
auf beiden Seiten wieder dritte binomische Formel nutzen und dann mit der Monotonie der Wurzelfunktion argumentieren 
MFG,
Gono.
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