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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] D\subseteq \IR \to \IR [/mm] durch f(x):= [mm] (4+x^2)^{1/2} - e^x [/mm] für x [mm] \in [/mm] D.
1) Bestimmen Sie das Intervall I [mm] \subseteq [/mm] D, in dem f streng monoton fallend ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.
2) Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle in D besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich hab so manche Probleme mit dieser Aufgabe..
zu 1)
Habe hier die Ableitung gebildet:
[mm] \frac{x}{(4+x^2)^{1/2}} - e^x [/mm]
doch ich scheitere an dem Versuch dieses Null zu setzten.
zu 2)
Hier hab ich keinerlei Ahnung. Wollte dies mittels Zwischenwertsatz lösen, doch hierzu fehlen mir die Extrempunkte aus Aufgabenteil 1.
Vielen Dank schon mal für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 22.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]D\subseteq \IR \to \IR[/mm] durch
> f(x):= [mm](4+x^2)^{1/2} - e^x[/mm] für x [mm]\in[/mm] D.
stimmt Deine Funktionsangabe?
> 1) Bestimmen Sie das Intervall I [mm]\subseteq[/mm] D, in dem f
> streng monoton fallend ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.
Selbst, wenn Deine Funktion stimmt, ist die Aufgabe hier schlecht formuliert. Da sollte sowas stehen wie: Bestimmen sie das MAXIMALE Intervall $D [mm] \subseteq \IR$, [/mm] wobei man dann [mm] $\IR$ [/mm] mit dem Intervall [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] identifizieren sollte.
Ansonsten macht es keinen Sinn, von "DEM" Intervall zu sprechen, denn solange es nicht gerade einpunktig ist, hat man, wenn man ein solches gefunden hat, dann automatisch [mm] $\infty$ [/mm] viele solcher Intervalle.
> 2) Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle in D besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Ich hab so manche Probleme mit dieser Aufgabe..
>
> zu 1)
>
> Habe hier die Ableitung gebildet:
>
> [mm]\frac{x}{(4+x^2)^{1/2}} - e^x[/mm]
Das passt auch zu Deiner obigen Funktion.
> doch ich scheitere an dem Versuch dieses Null zu setzten.
Ja, wenn Deine obige Funktion stimmen sollte, ist das klar. Wenn Du [mm] $f'(x)=\frac{x}{(4+x^2)^{1/2}} [/mm] - [mm] e^x$ [/mm] untersuchst, so sollte sich beweisen lassen, dass $f'(x) < 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
(Versuche das mal!)
Also genauer:
Du hast oben schon $f'$ berechnet, dabei sollte man noch begründen, warum $f$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar ist. Das kann man allerdings einfach der Rechnung, wie Du $f'$ berechnet hast, hinzufügen.
Wenn Du nun hinguckst, so wirst Du feststellen, dass $f'$ genau eine Maximalstelle [mm] $\xi$ [/mm] hat, und das [mm] $f'(\xi) [/mm] < 0$ gilt. Damit gilt insbesondere, dass $f'(x) [mm] \le f'(\xi) [/mm] < 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, also ist $f$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] streng monoton fallend (nach einem Satz der Analysis).
> zu 2)
>
> Hier hab ich keinerlei Ahnung. Wollte dies mittels
> Zwischenwertsatz lösen, doch hierzu fehlen mir die
> Extrempunkte aus Aufgabenteil 1.
Der Teil ist dann ganz einfach:
In Teil 1) erkennst Du dann, dass $f$ streng monoton fallend auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] ist. Wenn es also eine Nullstelle gibt, dann gibt es höchstens eine (als streng monoton fallende Funktion ist $f$ insbesondere injektiv). $f$ ist zudem stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] es ist $f(0)=1 > 0$ und z.B. $f(2) < 0$, womit der Zwischenwertsatz dann auch die Existenz einer Nullstelle (im Intervall $(0,2)$ gelegen) sichert.
P.S.:
Zur Orientierung mal ein Schaubild der Graphen von $f$ und $f'$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Michael471 |
Hallo!
erst mal vielen lieben Dank für die sehr schnelle Antwort!
und dann noch ein großes Dankeschön für den Tipp =)
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