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| Aufgabe | Zeigen sie dass die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] fallend und beschränkt ist.
[mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1} [/mm] |
Hallo,
ich bin gerade am lernen nur irgendwie will das Ganze nicht funktionieren.
Gedacht hab ich mir vollgendes:
mittels vollständiger Induktion.
Also sag ich:
[mm] a_{n}
somit
[mm] (1+\bruch{1}{2n})^{n} [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}
[/mm]
jetzt das ganze umformen
[mm] (\bruch{2n+1}{2n})^{n} [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{2n+1})*(\bruch{2*(n+1)}{2n+1})^n
[/mm]
Und jetzt bin ich am Ende meiner Weisheit.
Danke im Vorraus
Patrik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Di 25.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen sie dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm] fallend und beschränkt
> ist.
> [mm]a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm]
> Hallo,
> ich bin gerade am lernen nur irgendwie will das Ganze nicht
> funktionieren.
> Gedacht hab ich mir vollgendes:
> mittels vollständiger Induktion.
> Also sag ich:
> [mm]a_{n}
Das bedeutet, dass das nachfolgende Glied größer ist als das davor. Das bedeutet aber doch, dass die Folge streng monoton steigt! Wenn sie fällt so müsste das 3. Glied größer sein als das 4. und so fort. D.h. du musst das Vorzeichen umdrehen.
>
> somit
>
> [mm](1+\bruch{1}{2n})^{n}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm]
Nein. So kannst du das ganze nicht schreiben. [mm] $a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}$, [/mm] d.h. wenn du links von der Ungleichung [mm] a_n [/mm] stehen hast, dann musst du den Term auch komplett so abschreiben! Dann musst du für die n, die bei [mm] a_n [/mm] stehen konsequent dann n+1 einstetzen, wenn du [mm] a_{n+1} [/mm] berechnen willst.
Die Idee mit der Vollständigen Induktion ist okay. Man kann aber z.B. auch einfach zeigen, dass [mm] $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}>1 \forall [/mm] n$ Das ist genau das selbe. Aber versuchs nochmal mit der Vollständigen Induktion.
Die beschränktheit bekommt man hin, indem man sich einfach irgendeine Grenze vorgibt, und zeigt, dass alle Folgenglieder größer sind als die (in diesem Fall) untere Grenze.
LG
Kroni
>
> jetzt das ganze umformen
> [mm](\bruch{2n+1}{2n})^{n}[/mm] <
> [mm](1+\bruch{1}{2n+1})*(\bruch{2*(n+1)}{2n+1})^n[/mm]
>
> Und jetzt bin ich am Ende meiner Weisheit.
> Danke im Vorraus
> Patrik
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Beweisen sie dass die Folge fallend und beschränkt ist.
[mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1} [/mm] |
Also nochmal ein Versuch:
Annahme:
Die Folge ist monoton Fallend.
[mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
und nun zum Problem:
Induktionsschritt:
[mm] (1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1} [/mm] > [mm] (1+\bruch{1}{2n+3})^{n+2}
[/mm]
Wenn ich das ganze jetzt ausrechne wird das ein ganzer Haufen. Vorallem der Teil für [mm] a_{n+1}
[/mm]
Da weiß ich nichtmehr weiter. wie das ganze umformen, dass was sinnvolles rauskommt?
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> Beweisen sie dass die Folge fallend und beschränkt ist.
> [mm]a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm]
Hallo,
wer hat sich eigentlich ausgedacht, daß Du zeigen sollst, daß diese Folge monoton fallend ist?
Hast Du schonmal Werte eingesetzt? Die wächst doch!
EDIT: Sie fällt! (Ich hatte meinen TR falsch programmiert...
Wenn Du das mit Induktion, zeigen willst, ist also zu zeigen, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] die Aussage [mm] a_n> a_{n+1} [/mm] richtig ist.
Den Induktionsbeweis würde man führen, indem man zunächst die Gültigkeit der Aussage für n=1 nachweist, und im Induktionsschluß dann unter Verwendung der Induktionsvorraussetzung [mm] a_{n+1}> a_{n+2} [/mm] zeigt.
> Induktionsschritt:
>
> [mm](1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm] > [mm](1+\bruch{1}{2n+3})^{n+2}[/mm]
> Wenn ich das ganze jetzt ausrechne
Ich habe die Induktion bisher nicht durchgeführt.
Bevor Du blindlings irgendwas ausrechnest, solltest Du Dir über Deine Ziele klar werden. Du willst ja die Richtgkeit der Aussage zeigen.
Du könntest das tun, indem Du mit [mm](1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm] startest, und das nach eineigen Umformungen und unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung zu ...> [mm](1+\bruch{1}{2n+3})^{n+2}[/mm] abschätzt.
Oder Du schätzt [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}}{(1+\bruch{1}{2n+3})^{n+2}} [/mm] unter Verwendung der Ind.vor. zu ...>1 ab.
Oder Du schätzt [mm] (1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1}[/mm] [/mm] - [mm][mm] (1+\bruch{1}{2n+3})^{n+2} [/mm] unter Verwendung der Ind.vor. zu ...>0 ab.
Ob ein Weg hiervon der richtige ist, wirst Du nur herausfinden, wenn Du es tust. Irrwege gehören dazu.
Erkennst Du eigentlich, mit welcher Folge die Folge [mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{2n+1})^{n+1} [/mm] einiges zu tun hat? Mit [mm] b_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{n}. [/mm] In diese Richtung zu denken, könnte lohnenswert sein, möglicherweise kannst Du Dir Ergebnisse, die Ihr einst für [mm] b_n [/mm] erhalten hattet, verwenden.
> wird das ein ganzer
> Haufen. Vorallem der Teil für [mm]a_{n+1}[/mm]
> Da weiß ich nichtmehr weiter. wie das ganze umformen, dass
> was sinnvolles rauskommt?
Das kann wohl aus dem Stand, ohne es zu sehen, keiner sagen. Wenn Dir beim Umformen jemand helfen soll, müßte derjenige ja schon sehen, wie weit Du gekommen bist.
Gruß v. Angela
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