Monotonieverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Das Monotonieverhalten der gegebenen Folgen ist zu bestimmen:
(i) [mm] (a_{n})_{n\in\IN}:=(\bruch{3n-2}{5n+1})_{n\in\IN}
[/mm]
(ii) [mm] (b_{n})_{n\in\IN}:=(\bruch{2^{n}*n²}{3^{n}})_{n\in\IN} [/mm] |
Hallo Leute, ich finde keinen richtigen Ansatz.
Bei (i) bin ich so vorgegangen:
[mm] (\bruch{a_{n+1}}{a{n}})=\bruch{\bruch{3_{n+1}-2}{5_{n+1}+1}}{\bruch{3_{n}-2}{5_{n}+1}}
[/mm]
[mm] =(\bruch{3_{n+1}-2)*(5_{n}+1)}{(5_{n+1}+1)*(3_{n}-2})
[/mm]
Das bringt mich hier nicht weiter, wie sollte ich hier vorgehen?
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Hallo Eugen,
du hast da irgendwie etwas durcheinandergewürfelt.
[mm] $a_{n+1}$ [/mm] berechnet sich, indem du statt n einfach n+1 einsetzt
Also [mm] $a_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{5(n+1)+1}$
[/mm]
bei der (i) wird die elende Rechnerei um Längen einfacher, wenn du anstatt den Quotienten [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] betrachtest und zeigst, dass er >1 ist, die Differenz [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] betrachtest und zeigst, dass selbige >0 ist
Also [mm] $a_{n+1}-a_n=\frac{3(n+1)-2}{5(n+1)+1}-\frac{3n-2}{5n+1}=\frac{3n+1}{5n+6}-\frac{3n-2}{5n+1}$
[/mm]
Bringe das mal auf den HN und vereinfache, dann siehst du, dass diese Differenz [mm] $a_{n+1}-a_n>0$ [/mm] ist, die Folge also moonoton steigend ist
Bei der (ii) kann man die Rechnung wohl ganz angenehm über den Quotienten machen, da kürzt sich doch einiges raus.
Dann nur noch überlegen, ob der Quotient [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ [/mm] >1 (mon. steigend) oder <1 ist (mon. fallend)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus, danke für deine Antwort.
Ich bin bei (i) nun so vorgegangen:
[mm] a_{n+1}-a_n=\frac{3n+1}{5n+6}-\frac{3n-2}{5n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(3n+1)*(5n+1)}{(5n+6)*(5n+1)}\bruch{3n-2)*(5n+6)}{(5n+1)*(5n+6)}
[/mm]
[mm] =\bruch{15n²+8n+1-15n²+8n-12}{(5n+1)*(5n+6)}=\bruch{13}{(5n+1)*(5n+6)}
[/mm]
[mm] =\bruch{13}{25n²+35n+6}
[/mm]
Und dies ist für alle [mm] n\in\IN [/mm] größer 0
Bei der zweiten bin ich so vorgegangen:
[mm] \bruch{a_{n}+1}{a_{n}}=\bruch{\bruch{2^{n+1}*(n+1)²}{3^{n+1}}}{\bruch{2^{n}*n²}{3^{n}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{n+1}*(n+1)²*3^{n}}{3^{n+1}*2^{n}*n²}
[/mm]
Wie müssten die nächsten Schritte sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
danke für den Tipp, konnte es jetzt so weit vereinfachen:
[mm] \bruch{2*2^{n}*(n+1)²*3^{n}}{3*3^{n}*2^{n}*n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*(n+1)²}{3*n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*(n²+2n+1)}{3n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+4n+2}{3n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n}{3n²}+\bruch{4n}{3n²}+\bruch{2}{3n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}+\bruch{4}{3n}+\bruch{2}{3n²}
[/mm]
Aber wenn ich es so betrachte, dann komme ich nicht auf mein gewünschtes Ergebnis, denn es müsste ja eigentlich monoton fallend sein.
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Hallo Eugen,
> s.oben
> Hallo,
> danke für den Tipp, konnte es jetzt so weit vereinfachen:
> [mm]\bruch{2*2^{n}*(n+1)²*3^{n}}{3*3^{n}*2^{n}*n²}[/mm]
> [mm]=\bruch{2*(n+1)²}{3*n²}[/mm]
> [mm]=\bruch{2*(n²+2n+1)}{3n²}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n+4n+2}{3n²}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n}{3n²}+\bruch{4n}{3n²}+\bruch{2}{3n²}[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{3}+\bruch{4}{3n}+\bruch{2}{3n²}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht gut aus!
>
> Aber wenn ich es so betrachte, dann komme ich nicht auf
> mein gewünschtes Ergebnis, denn es müsste ja eigentlich
> monoton fallend sein.
Jo, warum denn auch nicht, die Terme, die n bzw. [mm] n^2 [/mm] haben, werden doch ab einem [mm] n_0 [/mm] so klein, dass [mm] $\frac{2}{3}+ [/mm] Rest < 1$ bleibt, oder?
Das [mm] n_0 [/mm] kannst du dir bei Bedarf ausrechnen, ab wann gilt [mm] $\frac{4}{3n}+\frac{2}{3n^2}<\frac{1}{3}$ [/mm] ?
Also hast du doch das gewünschte monot. Fallen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Oh du hast recht, war mir nicht bewusst, dass es für große n fallend wird, vielen Dank. 
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
