Monströse Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habe folgende Ungleichung die ich gerne lösen möchte:
[mm] \bruch{2x-3}{4x+1}+\bruch{7}{3x-2}>\bruch{6x^2-4x+4}{12x^2-5x-2}
[/mm]
Da ich nicht planlos an die Aufgabe ran gehen wollte ( das sie wirklich monströs ist) wollte ich fragen welcher der einfachste und effizienteste Weg ist diese Ungleichung zu lösen.
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Hallo Coxy,
monströs ist anders, ehrlich.
> Ich habe folgende Ungleichung die ich gerne lösen
> möchte:
>
> [mm]\bruch{2x-3}{4x+1}+\bruch{7}{3x-2}>\bruch{6x^2-4x+4}{12x^2-5x-2}[/mm]
>
> Da ich nicht planlos an die Aufgabe ran gehen wollte ( das
> sie wirklich monströs ist) wollte ich fragen welcher der
> einfachste und effizienteste Weg ist diese Ungleichung zu
> lösen.
Na dann, so als Tipp: stur drauflos rechnen. Du wirst feststellen, dass Dich der Hauptnenner noch stundenlang glücklich machen wird. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
Für den Fall [mm] 12x^2-5x-2> [/mm] 0 [mm] \gdw x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}{3}
[/mm]
$ [mm] \bruch{2x-3}{4x+1}+\bruch{7}{3x-2}>\bruch{6x^2-4x+4}{12x^2-5x-2} [/mm] $ | [mm] *(12x^2-5x-2)
[/mm]
und hatte nach der Polynomdivison (das geht wenn man sich die Definitionslücken anschaut).
So erhalte ich nach vereinfachen
[mm] 24x^2+36x+41>0
[/mm]
Das geht für [mm] -\infty
Daher ist Lösungmenge für diesen Fall
[mm] x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}
[/mm]
Für den 2 Fall: [mm] 12x^2-5x-2<0 \gdw x>-\bruch{1}{4} \wedge x<\bruch{2}{3}
[/mm]
bekommt man nach verainfach
[mm] x^2+2x+\bruch{41}{18}<0
[/mm]
[mm] (x+1)^2<-\bruch{11}{9}
[/mm]
Das ja für kein x [mm] \in [/mm] erfüllt ist.
Also ist meine komplette Lösungsmenge ist [mm] x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}
[/mm]
Laut Wolfram Alpha fehlt ist die richtige Lösungsmenge jedoch
[mm] -\bruch{9}{19}x<-\bruch{1}{4} \wedge [/mm] x>bruch{2}{3}
So meine frage ist: Was habe ich falsch gemacht?
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> Hallo,
> ich habe folgendes gemacht:
> Für den Fall [mm]12x^2-5x-2>[/mm] 0 [mm]\gdw x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}{3}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nimmt man dies zum Nennwert, wäre diese Ungleichung
also unerfüllbar, denn es gibt keine Zahl x mit $\ [mm] x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}{3}$ [/mm] !
> [mm]\bruch{2x-3}{4x+1}+\bruch{7}{3x-2}>\bruch{6x^2-4x+4}{12x^2-5x-2}[/mm]
> | [mm]*(12x^2-5x-2)[/mm]
> und hatte nach der Polynomdivison (das geht wenn man sich
> die Definitionslücken anschaut).
Weshalb denkst du hier an Polynomdivision, wo doch
(wenigstens zunächst) genau das Gegenteil davon
fällig ist, nämlich alles auf Hauptnenner zu bringen ...
> So erhalte ich nach vereinfachen
> [mm]24x^2+36x+41>0[/mm]
> Das geht für [mm]-\infty
> Daher ist Lösungmenge für diesen Fall
> [mm]x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}[/mm]
>
> Für den 2 Fall: [mm]12x^2-5x-2<0 \gdw x>-\bruch{1}{4} \wedge x<\bruch{2}{3}[/mm]
>
> bekommt man nach verainfach
> [mm]x^2+2x+\bruch{41}{18}<0[/mm]
> [mm](x+1)^2<-\bruch{11}{9}[/mm]
> Das ja für kein x [mm]\in[/mm] erfüllt ist.
>
> Also ist meine komplette Lösungsmenge ist [mm]x<-\bruch{1}{4} \wedge x>\bruch{2}[/mm]
>
> Laut Wolfram Alpha fehlt ist die richtige Lösungsmenge
> jedoch
> [mm]-\bruch{9}{19}x<-\bruch{1}{4} \wedge[/mm] x>bruch{2}{3}
Auch das mag ich nicht glauben !
> So meine frage ist: Was habe ich falsch gemacht?
Ich sage dir lieber, was du tun solltest, um zum Ziel
(der richtigen Lösungsmenge) zu kommen:
1.) bringe alles auf Hauptnenner
2.) bringe alles auf die linke Seite, damit du eine
Ungleichung der Form Bruch > 0 hast
3.) fasse im Zähler auf der linken Seite zusammen
3.) zerlege den (Haupt-) Nenner des Bruches wieder
in seine Faktoren, so dass du zu einer Ungleichung
der Form
[mm] $\frac{A(x)}{B(x)*C(x)}\ [/mm] >\ 0$
kommst, wobei A, B und C einfache lineare Terme sind.
4.) mach dir dann klar, unter welchen genauen Bedingungen
ein Term der Form [mm] \frac{A}{B*C} [/mm] einen positiven Wert liefert.
5.) fasse die Erkenntnisse zusammen, um die Lösungsmenge
als Vereinigungsmenge von Intervallen zu notieren.
LG , Al-Chwarizmi
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