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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 07.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe mir mal eine Art Begründung, warum man Splines entwickelt, zurechtgebastelt.
Man startet ja in der Numerik mit Polynominterpolation. Für äquidistante Stützstellen hat man das Problem, daß die Ausschläge des Knotenpolynoms an den Intervallenden sehr groß sind. Wählt man an den Intervallenden mehr Stützstellen, so hat man größere Ausschläge in der Intervallmitte. Wählt man Tschebyscheffknoten, so hat man zwar diese starken Ausschläge nicht mehr, jedoch osziliert der Graph stark.
Man möchte aber eine interpolierende Kurve haben, die glatt und wenig oszilierend durch die Stützstellen verläuft.
Die Splines erfüllen dies. Hier wird das Intervall [mm] $a=x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_{n-1} [/mm] < [mm] x_n [/mm] = b$ in Teilintervalle [mm] $[x_{j-1}, x_j]$ [/mm] unterteilt. Auf jedem Teilintervall wird ein Polynom möglichst niedrigen Grades gesucht. Alle diese Polynome werden dann an den Stützstellen zusammengeheftet.
Bin ich richtig?
Danke und viele grüße,
Regine.
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Hi Regine,
du hast recht damit, dass Splines nicht oszillieren und auch nicht wie Polynome gegen unendlich divergieren.
Historisch haben Splines ihren Ursprung von sogenannten 'splines', das waren Biegebretter, die man früher zum Zeichnen von gebogenen (aber nicht kreisförmigen Linien) benutzt hat. An den heutigen Stützstellen hat man damals diese Bretter fixiert und ihre Biegung einfach nachgezeichnet.
Die kubischen Splines simulieren dieses Verhalten recht gut.
Der große Vorteil von Splines egal welchen Grades ist die Tatsache, dass sich Störungen im Datenmaterial (Wackeln an den Stützstellen) nur lokal auswirken, während bei Tschebyscheff- oder Polynom-Interpolation mitunter massive Veränderungen auftreten können.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 07.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
nachdem ich mir nun den oben genannten Link und einige andere Quellen durchgelesen habe, habe ich mir folgendes überlegt:
Unsere Aufgabe ist es, eine Funktion $f$, durch einen Spline, der $f$ in den Punkten [mm] $(x_j,f_j)$, $f_j=f(x_j)$ [/mm] interpoliert, zu approximieren.
Ich habe ein Intervall $I=[a,b]$ und eine Unterteilung [mm] $a=x_0
Ein Spline setzt sich bei $n$ Knoten aus $n-1$ Funktionen 3. Grades auf insgesamt $n-1$ Intervallen zusammen.
Daraus können wir also ein Gleichungssystem aufstellen. Dieses hat $(n-1)$ Gleichungen und jeweils $4$, also insgesamt $4(n-1)$, Unbekannte. Somit kann man
das Gleichungssystem so noch nicht lösen.
Da diese Funktionen nahtlos ineinander übergehen müssen, sprich es keine plötzlichen Knicke im Verlauf des Splines geben soll, müssen die 1. Ableitung
(=Steigung) und die 2. Ableitung (=Krümmung) der Funktionen, die jeweils 2 Punkte verbinden und in einem der inneren Punkte zusammentreffen, den gleichen
Funktionswert haben.
Somit werden also diese Gleichungen gleichgesetzt und mit in das obige Gleichungssystem eingebracht. Nun haben wir schon (4n-6) Gleichungen.
Fehlen nur noch 2 Gleichungen, die wir den beiden äußeren Punkten zusprechen. Als Beispiel wurde in einer der Quellen genannt, daß man die 2. Ableitung in
beiden Punkten $=0$ setzt.
Also steht unser Spline nun und kann berechnet werden.
Nun verstehe ich es weiter so:
Ein Spline $S:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit
- $S [mm] \in C^2[a,b]$ [/mm] und
- auf jedem Teilintervall [mm] $[x_{j-1},x_j]$ [/mm] stimmt $S$ mit einem Polynom 3. Grades überein
heißt kubischer Spline .
(Ich nenne mal diese Polynome auf den Teilintervallen [mm] $s_j$.)
[/mm]
Ein Spline, für den [mm] $s_j(x_{j-1})=f_{j-1}$, $s_j(x_j)=f_j$, [/mm] $j=1,...,n$ gilt, heißt interpolatorischer Spline.
Ein interpolatorischer Spline heißt natürlicher Spline, falls $S''(a)=S''(b)=0$.
Kann mir noch jemand folgen und zur Not korrigieren?
Ich bedanke mich recht herzlich,
Regine.
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Also ich denke, dein Wissen geht so in Ordnung
Das mit den natürlichen Splines kommt übrigens daher, weil die von mir schon erwähnten Biegebretter genau diese Eigenschaft besitzen. Sie sind an beiden Enden nicht mehr gekrümmt und somit sind natürliche Splines noch dichter am historischen Original als andere.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 09.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
was fällt Euch denn zur "Konvergenz der Splines für die Ausgangsfunktion" ein?
Ich bin mir nicht ganz sicher. Wird damit nur allgemein darauf abgezielt, daß der Fehler, der bei der Approximation der Ausgangsfunktion gemacht wird, kleiner ist als der bei der Polynominterpolation? Oder was ist hier gemeint?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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kenne ich mich nicht aus, vielleicht kann dazu ja nochmal jemand was schreiben, der Rest sollte stimmen.
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http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/scheiffert/index.htm