Mündliche Prüfung/gegenchecken < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Betrachtet wird die Funktion g: R->R mit
g(x)=x/(1+|x|)
(1a) Weisen Sie nach, dass g in allen Punkten von R differenzierbar ist, wobei stets g'(x)= 1/(1+|x|)²
(1b) Folgern sie, dass g weder globale noch lokale Extremwerte hat. |
| Aufgabe 2 | (2) Untersuchen sie die Reihe
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}1/[n(ln [/mm] n)²]
auf Konvergenz. |
| Aufgabe 3 | (3) Die Funktion f: [0,1] -> R sei stetig. Wir definieren für x [mm] \in [/mm] [0,1]
F(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{f(s) ds} [/mm] und G(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{F(t) dt}
[/mm]
Weisen sie nach, dass G(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{(x-t)f(t) dt} [/mm] |
Folgende Lage:
Ich muss leider in eine mündliche Prüfung, für die mir 3 Aufgaben gegeben worden sind, die ich erklären soll. Diese Aufgaben hab ich auch gelöst, aber ich denke es wäre extrem peinlich, wenn an meinen Lösungen was falsch wäre.
Deswegen würd ich euch bitten, das ganze nochmal auf Herz und Nieren zu prüfen, damit ich mich nicht selbst in die Enge treibe.
Meine Lösungen
(1a) Nach Definition heisst g an der Stelle a differenzierbar wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}[g(a+h)-g(a)]/h [/mm] existiert.
Für unsere Funktion ist der Punkt 0 kritisch.
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}[g(0+h)-g(0)]/h
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] [h/(1+|h|)-0]/h
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] 1/(1+|h|)
Hier ist der lim von oben = dem lim von unten = 1. Folglich existiert die Ableitung im Punkt 0
Für a [mm] \ge [/mm] 0 lautet sie
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] [a+h/(1+a+h)- a/(1+a)]/h
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] [a+a²+h+ah-a-a²-ah/(1+a+h)(1+a)]/h
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 1/(1+a+h)(1+a)
= 1/(1+a)²
Für a<0
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] [a+h/(1-a-h)- a/(1-a)]/h
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] [a-a²+h-ah-a+a²+ah/(1-a-h)(1-a)]/h
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 1/(1-a-h)(1-a)
= 1/(1-a)²
da a Negativ => g'(x)=1/(1+|x|)²
(1b) Eine notwendige Bedingung für einen Extremwert ist
g'(x)=0
Also müsste 1/(1+|x|)²=0
Diese Gleichung hat keine endliche Lösung!
(2) 2 ist eine natürliche Zahl und f(n)=1/[n(ln n)²] ist monoton fallend. Man kann also das Integralvergleichskriterium ansetzen.
[mm] \integral_{2}^{\infty}{1/[x(ln x)²] dx}
[/mm]
Ich substituiere mit [mm] x=e^y
[/mm]
[mm] \integral_{ln2}^{\infty}{e^y/[(e^y)(1/y²)] dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{ln2}^{\infty}{1/y² dy}
[/mm]
=1/ln2
Das Integral konvergiert, folglich konvergiert auch die Summe.
(3) G(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{(x-t)f(t) dt}
[/mm]
Partielle Integration liefert
G(x)= [(x-t)F(t)] + [mm] \integral_{0}^{x}{F(t) dt}
[/mm]
Der zweite Summand entspricht der Definition, also bleibt zu zeigen, dass der erste Summand =0 ist.
[(x-t)F(t)] = (x-x)F(x)-xF(0)
(x-x)F(x)=0
[mm] F(0)=\integral_{0}^{0}{f(s) ds}=0
[/mm]
Wie gewünscht.
Fertig.
Bitte eher zu viel mäkeln als zu wenig. DANKE!!!
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