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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 20.02.2010 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe ein Verständnisproblem.
Und zwar: Ich werfe 4mal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 2 Mal Kopf zu treffen?
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Wieso:
[mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm]
Warum 4 über 2 und nicht zum Beispiel 16 (gesamt Anzahl der Möglichkeiten) über 2?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich habe ein Verständnisproblem.
> Und zwar: Ich werfe 4mal eine Münze. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit 2 Mal Kopf zu treffen?
>
>
> Wieso:
> [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
>
> Warum 4 über 2 und nicht zum Beispiel 16 (gesamt Anzahl
> der Möglichkeiten) über 2?
>
> Danke!
Hallo,
beides ist falsch, da die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 0 und 1 ist.
Unklar ist auch die Fragestellung. Heißt es "zweimal" im Sinne von "mindestens zweimal" oder heißt es "genau zweimal"?
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich durch abzählen der günstigen unter den 16 möglichen Zugfolgen oder, wenn ihr das schon hattet, über eine Binomialvertelung ermitteln.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 20.02.2010 | | Autor: | freak900 |
ok, jetzt nur mal die Möglichkeiten (nicht die Wahrscheinlichkeit)
[mm] \vektor{4 \\ 2}, [/mm] wieso kann ich das so rechnen?
Und ist das jetzt mindenstens 2 mal Kopf oder genau?
(Ich habe mir das Beispiel selbst ausgedacht)
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Hallo,
> ok, jetzt nur mal die Möglichkeiten (nicht die
> Wahrscheinlichkeit)
> [mm]\vektor{4 \\ 2},[/mm] wieso kann ich das so rechnen?
[mm] \vektor{4\\2} [/mm] ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer 4-elementigen Menge eine 2-elementige Menge zu ziehen. Die Elemente der 4-elementigen Menge sind dabei wohlunterscheidbar.
Das trifft bei dir zu: Du hast eine Münze, die du viermal hintereinander wirfst. Die vier Würfe (die in diesem Fall die Elemente der oben angesprochenen 4-elementigen Menge sind), sind wohlunterscheidbar.
Du willst nun die Anzahl aller Möglichkeiten wissen, dass 2 Münzen Kopf zeigen, also die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 4 Würfen "2 Kopfwürfe" herauszuziehen.
> Und ist das jetzt mindenstens 2 mal Kopf oder genau?
> (Ich habe mir das Beispiel selbst ausgedacht)
Es ist "genau" 2.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 21.02.2010 | | Autor: | freak900 |
hallo, danke für deine Hilfe!
noch eine Frage:
"Die Elemente der 4-elementigen Menge sind dabei wohlunterscheidbar".
Was genau meinst du mit wohlunterscheidbar?
Danke!
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Hallo,
> hallo, danke für deine Hilfe!
>
> noch eine Frage:
> "Die Elemente der 4-elementigen Menge sind dabei
> wohlunterscheidbar".
>
> Was genau meinst du mit wohlunterscheidbar?
Die Aussage soll nur verdeutlichen, sagt aber im Grunde nichts neues, weil eine Menge immer nur "unterscheidbare" Elemente hat.
Ich meine damit einfach, dass du nicht solche 4-elementige "Mengen" hast (das sind nämlich eigentlich keine 4-elementigen, sondern nur 1-elementige):
[mm] \{1,1,1,1\}
[/mm]
da sind die Elemente nicht wohlunterscheidbar. 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 21.02.2010 | | Autor: | freak900 |
ok, danke,
was mich eben verwirrt ist, dass bei anderen Beispielen, z.B.: ich habe eine Gruppe von 15 Produkten, 5 sind beschädigt, wie viele Möglichkeiten gibt es? 15 über 5, die Gesamt Anzahl ist 15, 5 sind die ausgewählte Menge.
Bei den Münzen habe ich ja jeweils 2 Seiten, also bei 4 Münzen 8 Seiten.
8 über 2. Ich weiß es ist falsch, ich werds mir einfach auswendig merken müssen.
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Hallo,
> ok, danke,
> was mich eben verwirrt ist, dass bei anderen Beispielen,
> z.B.: ich habe eine Gruppe von 15 Produkten, 5 sind
> beschädigt, wie viele Möglichkeiten gibt es? 15 über 5,
> die Gesamt Anzahl ist 15, 5 sind die ausgewählte Menge.
Genau.
> Bei den Münzen habe ich ja jeweils 2 Seiten, also bei 4
> Münzen 8 Seiten.
> 8 über 2. Ich weiß es ist falsch, ich werds mir einfach
> auswendig merken müssen.
Eigentlich nicht. Du musst dich einfach immer genau fragen:
- Wer zieht und wie oft --> "k"
- Wie viele Möglichkeiten hat der Ziehende jeweils (am Anfang)? --> "n"
Dann musst du noch charakterisieren, wie der "Zieher" zieht. Mit Zurücklegen, ohne zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge, oder ohne.
Und dann gibt es da diese tollen Tabellen.
>>> Mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge: [mm] n^{k}
[/mm]
(Klar, der Zieher zieht k mal, und immer die Auswahl aus n Möglichkeiten --> n*n*n*...*n)
>>> Mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge: Schwierige Formel, kommt meist nicht zum Einsatz: [mm] \vektor{n+k-1\\k}
[/mm]
>>> Ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: [mm] \frac{n!}{(n-k)!}
[/mm]
(Auch intuitiv: Am Anfang der k Züge hat der Zieher n Möglichkeiten, danach nur noch (n-1), dann noch (n-2), bis zum k-ten Zug: (n-(k-1)) Möglichkeiten, insgesamt also: n*(n-1)*...*(n-(k-1)), das ist dasselbe wie oben steht).
>>> Ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: [mm] \vektor{n\\k}.
[/mm]
Bei deinem Gruppenbeispiel zieht der Zieher k = 5 mal, und zwar hat er (am Anfang) n = 15 Möglichkeiten.
Der Zieher zieht ohne Zurücklegen (ich denke, das ist einleuchtend), aber auch ohne Beachtung der Reihenfolge (was ist damit gemeint: Die fünf gezogenen Personen werden nicht genauer charakterisiert, es sind einfach nur 5 beliebige Personen, die wie in einem Fischnetz dann irgendwie rumliegen, aber nicht in einer bestimmten Reihenfolge).
Also benutzt du [mm] \vektor{n\\k}.
[/mm]
Bei deinem Münzbeispiel ist es etwas anders. Der Münzwerfer ist eben nicht der Zieher. (Warum nicht: Weil die Münze eh' 4mal geworfen wird - uns interessieren aber die Ergebnisse).
Die Zieher sind nämlich die zwei "Kopfwürfe" --> k = 2. Diese wählen sich nämlich aus den 4 Münzwürfen ihre Position aus, wann sie geworfen werden!
Am Anfang ist also n = 4.
Es ist oft so, dass sich scheinbar "die Ergebnisse" ihre "Würfe" wählen, also wann sie auftreten!
Nun noch die Bestimmung der Wahl: Das ist natürlich ohne Zurücklegen, denn wenn sich der erste Kopfwurf entschieden hat, dass er als erstes (also beim ersten Wurf) geworfen wird, dann kann der zweite Kopfwurf nicht auch dort geschehen (man kann ja nicht zweimal "Kopf" bei einem Wurf haben).
Die Wahl ist aber auch ohne Beachtung der Reihenfolge: Die beiden Wurfnummern, die gezogen werden, bzw. in welcher Reihenfolge sie gezogen werden, ist egal, weil die beiden Kopfwürfe nicht näher charakterisiert, also unterschieden werden können.
--> [mm] \vektor{n\\k}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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