Mult. und Add. von Cauchy-Folg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Beweisen Sie den Satz aus der Vorlesung:
Sind [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] Cauchyfolgen rationaler Zahlen, so sind auch [mm] (a_{n}+b_{n}) [/mm] und [mm] (a_{n}*b_{n}) [/mm] Cauchyfolgen. |
d.h. [mm] \exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] |a_{n}-a_{m}| \le \varepsilon, [/mm] für n,m [mm] \ge n(\varepsilon)
[/mm]
und
[mm] \exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] |b_{n}-b_{m}| \le \varepsilon, [/mm] für n,m [mm] \ge n(\varepsilon)
[/mm]
(1) zz. [mm] \exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] |(a_{n}+b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}+b_{m})| \le \varepsilon, [/mm] für n,m [mm] \ge n(\varepsilon)
[/mm]
Beweis: [mm] |(a_{n}+b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}+b_{m})| [/mm] = [mm] |(a_{n}-a_{m}) [/mm] + [mm] (b_{n}-b_{m})|
[/mm]
= [mm] \underbrace{|(a_{n}-a_{m})|}_{\le\varepsilon} [/mm] + [mm] \underbrace{|(b_{n}-b_{m})|}_{\le \varepsilon} \le 2\varepsilon
[/mm]
Ist damit der Beweis fertig? Eigentlich muss ich doch zeigen, dass es [mm] \le \varepsilon [/mm] ist oder darf ich annehmen, dass die einzelnen Folgen [mm] \le \bruch{1}{2}\varepsilon [/mm] ?
(2) zz. [mm] \exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] |(a_{n}*b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}*b_{m})| \le \varepsilon, [/mm] für n,m [mm] \ge n(\varepsilon)
[/mm]
Hier weiß ich mir leider garnicht weiter zu helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie den Satz aus der Vorlesung:
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> Sind [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] Cauchyfolgen rationaler Zahlen, so
> sind auch [mm](a_{n}+b_{n})[/mm] und [mm](a_{n}*b_{n})[/mm] Cauchyfolgen.
> d.h. [mm]\exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon[/mm] > 0 :
Umgekehrt: $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists n(\varepsilon) [/mm] $
> [mm]|a_{n}-a_{m}| \le \varepsilon,[/mm] für n,m [mm]\ge n(\varepsilon)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon[/mm] > 0 :
Umgekehrt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n(\varepsilon)
[/mm]
> [mm]|b_{n}-b_{m}| \le \varepsilon,[/mm] für n,m [mm]\ge n(\varepsilon)[/mm]
>
> (1) zz. [mm]\exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon[/mm] > 0 :
Umgekehrt: $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists n(\varepsilon) [/mm] $
> [mm]|(a_{n}+b_{n})[/mm] - [mm](a_{m}+b_{m})| \le \varepsilon,[/mm] für n,m
> [mm]\ge n(\varepsilon)[/mm]
>
> Beweis: [mm]|(a_{n}+b_{n})[/mm] - [mm](a_{m}+b_{m})|[/mm] = [mm]|(a_{n}-a_{m})[/mm] +
> [mm](b_{n}-b_{m})|[/mm]
>
> = [mm]\underbrace{|(a_{n}-a_{m})|}_{\le\varepsilon}[/mm] +
> [mm]\underbrace{|(b_{n}-b_{m})|}_{\le \varepsilon} \le 2\varepsilon[/mm]
>
> Ist damit der Beweis fertig?
Ja
> Eigentlich muss ich doch
> zeigen, dass es [mm]\le \varepsilon[/mm] ist oder darf ich
> annehmen, dass die einzelnen Folgen [mm]\le \bruch{1}{2}\varepsilon[/mm]
Das kannst Du auch machen.
> ?
>
> (2) zz. [mm]\exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon[/mm] > 0 :
Umgekehrt: $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists n(\varepsilon) [/mm] $
> [mm]|(a_{n}*b_{n})[/mm] - [mm](a_{m}*b_{m})| \le \varepsilon,[/mm] für n,m
> [mm]\ge n(\varepsilon)[/mm]
>
> Hier weiß ich mir leider garnicht weiter zu helfen.
[mm] $|a_nb_n-a_mb_m| [/mm] = [mm] |a_nb_n-a_mb_n+a_mb_n-a_mb_m| [/mm] = [mm] |(a_n-a_m)b_n+a_m(b_n-b_m)| \le |b_n||a_n-a_m|+|a_m||b_n-b_m|$
[/mm]
Benutze nun noch, dass Cauchyfolgen beschränkt sind
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Ist dem so, dass jede Cauchyfolge, egal in welchem Körper, beschränkt ist? Hab keinen Satz dazu gefunden.
Macht es wohl einen Unterschied, ob ich sage [mm] \exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon [/mm] > 0 oder [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n(\varepsilon) [/mm] ?
Zur Aufgabe: Da [mm] (b_{n}) [/mm] und [mm] (a_{m}) [/mm] Cauchyfolgen sind, sind diese beschränkt.
dh. [mm] \exists [/mm] K: [mm] |b_{n}| \le [/mm] K und [mm] \exists [/mm] C: [mm] |a_{m}| \le [/mm] C , K,C konstant
[mm] \Rightarrow |b_{n}|*|a_{n}-a_{m}| [/mm] + [mm] |a_{m}|*|b_{n}-b_{m}| \le K*\varepsilon [/mm] + [mm] C*\varepsilon [/mm] = (K + [mm] C)*\varepsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist dem so, dass jede Cauchyfolge, egal in welchem Körper,
> beschränkt ist? Hab keinen Satz dazu gefunden.
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR, [/mm] so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_n-a_N|<1$ [/mm] für n > N
Dann:
[mm] $|a_n| [/mm] = [mm] |a_n-a_N+a_N| \le |a_n-a_N|+|a_N| [/mm] < [mm] 1+|a_N|$ [/mm] für n>N
>
> Macht es wohl einen Unterschied, ob ich sage [mm]\exists n(\varepsilon) \forall \varepsilon[/mm]
> > 0 oder [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n(\varepsilon)[/mm] ?
>
Ja und zwar einen gewaltigen !!
Berachte mal den Unterschied zwischen den beiden Aussagen:
1. für jedes Kind gibt es einen Kindergarten, in dem es aufgenommen wird.
2. es gibt einen Kindergarten, indem jedes Kind aufgenommen wird.
> Zur Aufgabe: Da [mm](b_{n})[/mm] und [mm](a_{m})[/mm] Cauchyfolgen sind, sind
> diese beschränkt.
>
> dh. [mm]\exists[/mm] K: [mm]|b_{n}| \le[/mm] K und [mm]\exists[/mm] C: [mm]|a_{m}| \le[/mm] C ,
> K,C konstant
>
> [mm]\Rightarrow |b_{n}|*|a_{n}-a_{m}|[/mm] + [mm]|a_{m}|*|b_{n}-b_{m}| \le K*\varepsilon[/mm]
> + [mm]C*\varepsilon[/mm] = (K + [mm]C)*\varepsilon[/mm]
O.K.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
> > Ist dem so, dass jede Cauchyfolge, egal in welchem Körper,
> > beschränkt ist? Hab keinen Satz dazu gefunden.
>
> Ist [mm](a_n)[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]\IR,[/mm] so gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm]
> mit:
>
> [mm]|a_n-a_N|<1[/mm] für n > N
>
> Dann:
>
> [mm]|a_n| = |a_n-a_N+a_N| \le |a_n-a_N|+|a_N| < 1+|a_N|[/mm] für
> n>N
In meiner Aufgabe geht es ja aber um Cauchyfolgen in [mm] \IQ.
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Ist dem so, dass jede Cauchyfolge, egal in welchem Körper,
> > > beschränkt ist? Hab keinen Satz dazu gefunden.
> >
> > Ist [mm](a_n)[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]\IR,[/mm] so gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > mit:
> >
> > [mm]|a_n-a_N|<1[/mm] für n > N
> >
> > Dann:
> >
> > [mm]|a_n| = |a_n-a_N+a_N| \le |a_n-a_N|+|a_N| < 1+|a_N|[/mm] für
> > n>N
>
> In meiner Aufgabe geht es ja aber um Cauchyfolgen in [mm]\IQ.[/mm]
Na und. Der Beweis für die Beschränktheit geht genauso
FRED
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> Vielen Dank für deine Hilfe!
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