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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Multiindex
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Multiindex: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Di 05.01.2016
Autor: natural

Hallo,

in meinem Skript zu PDGL wird folgendes definiert:

[mm] \alpha [/mm] sei ein Multiindex mit [mm] \alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n}) [/mm] mit [mm] \alpha_{i}\in\IN_{0} [/mm] und [mm] \partial^{\alpha}u:=(\bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha 1}}...\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha n}})u. [/mm] Außerdem ist [mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}. [/mm]

Ich bin mir nicht sicher ob ich diese Formulierung verstanden habe.
Wenn z.B. [mm] u(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] ist und [mm] \alpha=1, [/mm] ist dann damit der Gradient der Funktion u gemeint? Also die ersten partiellen Ableitungen?

mfG,
natural

        
Bezug
Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 05.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich bin mir nicht sicher ob ich diese Formulierung
> verstanden habe.
>  Wenn z.B. [mm]u(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] ist und [mm]\alpha=1[/mm],

Da hast du schon einen Denkfehler: [mm] \alpha [/mm] ist ein n-Tupel und nur im Spezialfall n=1 eine reelle Zahl.

> ist dann damit der Gradient der Funktion u gemeint? Also die ersten partiellen Ableitungen?

Nein.
[mm] $(\bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha 1}}...\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha n}})$ [/mm] ist kein Vektor sondern die Hintereinanderausführung von partiellen Ableitungen.

Als Beispiel: Sei [mm] $\alpha [/mm] = (2,3,1)$, dann ist $ [mm] \partial^{\alpha}u [/mm] = [mm] \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{\partial^3}{\partial x_2^3}\frac{\partial}{\partial x_3} [/mm] u$

Gruß,
Gono


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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Di 05.01.2016
Autor: natural

Hi,
> Als Beispiel: Sei [mm]\alpha = (2,3,1)[/mm], dann ist
> [mm]\partial^{\alpha}u = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{\partial^3}{\partial x_2^3}\frac{\partial}{\partial x_3} u[/mm]
>  

ah ja, das leuchtet mir ein und wegen [mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm] ist das obige Beispiel dann auch darstellbar als
[mm] \partial^{\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^{6}u}{\partial x_{1}^{2} \partial x_{2}^{3} \partial x_{3}}. [/mm]

Was mich jedoch weiterhin verwirrt ist folgende Formulierung
[mm] u_{m} [/mm] := [mm] \summe_{|\alpha|\le m} \partial^{\alpha}u [/mm] mit [mm] m\in\IN_{0}, [/mm]

wobei m vorgegeben wird.

Sei als Beispiel [mm] u(x_{1},x_{2}) [/mm] und m=1, dann verstehe ich noch nicht ganz wie die Reihe bei der gegebenen Definition zusammen gesetzt wird. Für [mm] |\alpha|=0 [/mm] ist das erste Reihenglied offensichtlich [mm] u(x_{1},x_{2}), [/mm] wie sieht dann aber das zweite Glied für [mm] |\alpha|=1=m [/mm] aus?

mfG,
natural

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Di 05.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na welche Möglichkeiten gibt es denn für  [mm] $\alpha [/mm] = [mm] (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, [/mm] wenn [mm] $\alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] \alpha_3 [/mm] = 1$ und [mm] $\alpha_i \in \IN$ [/mm] gilt?

Gruß,
Gono

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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Di 05.01.2016
Autor: natural

Hi,

> Hiho,
>  
> na welche Möglichkeiten gibt es denn für  [mm]\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)[/mm],
> wenn [mm]\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1[/mm] und [mm]\alpha_i \in \IN[/mm]
> gilt?
>  
> Gruß,
>  Gono

drei Möglichkeiten
[mm] 1+(\alpha_{2}=0)+(\alpha_{3}=0)=1 [/mm] oder
[mm] (\alpha_{1}=0)+1+(\alpha_{3}=0)=1 [/mm] oder
[mm] (\alpha_{1}=0)+(\alpha_{2}=0)+1=1. [/mm]

Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche Variable ich ableiten muss?

Übrigens ist [mm] \alpha_{i}\in\IN_{0} [/mm] definiert.
mfG,
natural

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Di 05.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> drei Möglichkeiten
>  [mm]1+(\alpha_{2}=0)+(\alpha_{3}=0)=1[/mm] oder
>  [mm](\alpha_{1}=0)+1+(\alpha_{3}=0)=1[/mm] oder
>  [mm](\alpha_{1}=0)+(\alpha_{2}=0)+1=1.[/mm]

[ok]
  

> Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche Variable ich ableiten muss?

Na nach deiner Definition: [mm] \alpha_i [/mm] gibt an, wie oft [mm] x_i [/mm] abgeleitet wird.

> Übrigens ist [mm]\alpha_{i}\in\IN_{0}[/mm] definiert.

Das hängt davon ab, wie ihr [mm] \IN [/mm] definiert habt. Bei mir gilt [mm] $0\in\IN$ [/mm] :-)

Gruß,
Gono

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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 05.01.2016
Autor: natural

Hi,

> > Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche
> Variable ich ableiten muss?
>  Na nach deiner Definition: [mm]\alpha_i[/mm] gibt an, wie oft [mm]x_i[/mm]
> abgeleitet wird.

,aber welches [mm] x_{i} [/mm] denn?

Nochmal zurück zur Reihendarstellung:

[mm] u_{m} [/mm] := [mm] \summe_{|\alpha|\le m} \partial^{\alpha}u. [/mm]

Sei [mm] u(x_{1},x_{2}) [/mm] und m=1.

Dann gibt es für [mm] \alpha [/mm] diese Möglichkeiten
[mm] 1+(\alpha_{2}=0)=1 [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial u}{\partial x_{1}} [/mm] und
[mm] (\alpha_{1}=0)+1=1 [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial u}{\partial x_{2}}. [/mm]

Falls es bis hier hin richtig ist, woher weiß ich welches ich nehmen muss damit die Reihe
[mm] u_{1}=u(x_{1},x_{2})+??? [/mm]
vervollständigt werden kann. Mir fehlt dieser Gedankenanstoß.

mfG,
natural


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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Di 05.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm]u(x_{1},x_{2})[/mm] und m=1.
>  
> Dann gibt es für [mm]\alpha[/mm] diese Möglichkeiten
>  [mm]1+(\alpha_{2}=0)=1[/mm] bzw. [mm]\bruch{\partial u}{\partial x_{1}}[/mm]
> und
> [mm](\alpha_{1}=0)+1=1[/mm] bzw. [mm]\bruch{\partial u}{\partial x_{2}}.[/mm]

[ok]

> Falls es bis hier hin richtig ist, woher weiß ich welches
> ich nehmen muss damit die Reihe
>  [mm]u_{1}=u(x_{1},x_{2})+???[/mm]
>  vervollständigt werden kann.

alle!
Der Index $|a| [mm] \le [/mm] m$ sagt, dass du über alle $a = [mm] (a_1,\ldots,a_n)$ [/mm] mit $|a| [mm] \le [/mm] m$ summieren sollst.

Als Beispiel:
Es ist [mm] $\summe_{|a| = 1} \partial^a [/mm] u = [mm] \frac{\partial}{dx_1}u [/mm] + [mm] \frac{\partial}{dx_2}u$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Bezug
Multiindex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Di 05.01.2016
Autor: natural

Vielen Dank Gono,

jetzt habe ich es begriffen.

Danke, dass du dir Zeit dafür genommen hast und einen schönen Abend noch!

LG,
natural

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