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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 05.01.2016 | | Autor: | natural |
Hallo,
in meinem Skript zu PDGL wird folgendes definiert:
[mm] \alpha [/mm] sei ein Multiindex mit [mm] \alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n}) [/mm] mit [mm] \alpha_{i}\in\IN_{0} [/mm] und [mm] \partial^{\alpha}u:=(\bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha 1}}...\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha n}})u. [/mm] Außerdem ist [mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}.
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher ob ich diese Formulierung verstanden habe.
Wenn z.B. [mm] u(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] ist und [mm] \alpha=1, [/mm] ist dann damit der Gradient der Funktion u gemeint? Also die ersten partiellen Ableitungen?
mfG,
natural
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Hiho,
> Ich bin mir nicht sicher ob ich diese Formulierung
> verstanden habe.
> Wenn z.B. [mm]u(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] ist und [mm]\alpha=1[/mm],
Da hast du schon einen Denkfehler: [mm] \alpha [/mm] ist ein n-Tupel und nur im Spezialfall n=1 eine reelle Zahl.
> ist dann damit der Gradient der Funktion u gemeint? Also die ersten partiellen Ableitungen?
Nein.
[mm] $(\bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha 1}}...\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha n}})$ [/mm] ist kein Vektor sondern die Hintereinanderausführung von partiellen Ableitungen.
Als Beispiel: Sei [mm] $\alpha [/mm] = (2,3,1)$, dann ist $ [mm] \partial^{\alpha}u [/mm] = [mm] \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{\partial^3}{\partial x_2^3}\frac{\partial}{\partial x_3} [/mm] u$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 05.01.2016 | | Autor: | natural |
Hi,
> Als Beispiel: Sei [mm]\alpha = (2,3,1)[/mm], dann ist
> [mm]\partial^{\alpha}u = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{\partial^3}{\partial x_2^3}\frac{\partial}{\partial x_3} u[/mm]
>
ah ja, das leuchtet mir ein und wegen [mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm] ist das obige Beispiel dann auch darstellbar als
[mm] \partial^{\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^{6}u}{\partial x_{1}^{2} \partial x_{2}^{3} \partial x_{3}}.
[/mm]
Was mich jedoch weiterhin verwirrt ist folgende Formulierung
[mm] u_{m} [/mm] := [mm] \summe_{|\alpha|\le m} \partial^{\alpha}u [/mm] mit [mm] m\in\IN_{0},
[/mm]
wobei m vorgegeben wird.
Sei als Beispiel [mm] u(x_{1},x_{2}) [/mm] und m=1, dann verstehe ich noch nicht ganz wie die Reihe bei der gegebenen Definition zusammen gesetzt wird. Für [mm] |\alpha|=0 [/mm] ist das erste Reihenglied offensichtlich [mm] u(x_{1},x_{2}), [/mm] wie sieht dann aber das zweite Glied für [mm] |\alpha|=1=m [/mm] aus?
mfG,
natural
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Hiho,
na welche Möglichkeiten gibt es denn für [mm] $\alpha [/mm] = [mm] (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, [/mm] wenn [mm] $\alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] \alpha_3 [/mm] = 1$ und [mm] $\alpha_i \in \IN$ [/mm] gilt?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 05.01.2016 | | Autor: | natural |
Hi,
> Hiho,
>
> na welche Möglichkeiten gibt es denn für [mm]\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)[/mm],
> wenn [mm]\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1[/mm] und [mm]\alpha_i \in \IN[/mm]
> gilt?
>
> Gruß,
> Gono
drei Möglichkeiten
[mm] 1+(\alpha_{2}=0)+(\alpha_{3}=0)=1 [/mm] oder
[mm] (\alpha_{1}=0)+1+(\alpha_{3}=0)=1 [/mm] oder
[mm] (\alpha_{1}=0)+(\alpha_{2}=0)+1=1.
[/mm]
Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche Variable ich ableiten muss?
Übrigens ist [mm] \alpha_{i}\in\IN_{0} [/mm] definiert.
mfG,
natural
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Hiho,
> drei Möglichkeiten
> [mm]1+(\alpha_{2}=0)+(\alpha_{3}=0)=1[/mm] oder
> [mm](\alpha_{1}=0)+1+(\alpha_{3}=0)=1[/mm] oder
> [mm](\alpha_{1}=0)+(\alpha_{2}=0)+1=1.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche Variable ich ableiten muss?
Na nach deiner Definition: [mm] \alpha_i [/mm] gibt an, wie oft [mm] x_i [/mm] abgeleitet wird.
> Übrigens ist [mm]\alpha_{i}\in\IN_{0}[/mm] definiert.
Das hängt davon ab, wie ihr [mm] \IN [/mm] definiert habt. Bei mir gilt [mm] $0\in\IN$ [/mm] 
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 05.01.2016 | | Autor: | natural |
Hi,
> > Aber wie hilft mir das weiter? Woher weiß ich welche
> Variable ich ableiten muss?
> Na nach deiner Definition: [mm]\alpha_i[/mm] gibt an, wie oft [mm]x_i[/mm]
> abgeleitet wird.
,aber welches [mm] x_{i} [/mm] denn?
Nochmal zurück zur Reihendarstellung:
[mm] u_{m} [/mm] := [mm] \summe_{|\alpha|\le m} \partial^{\alpha}u.
[/mm]
Sei [mm] u(x_{1},x_{2}) [/mm] und m=1.
Dann gibt es für [mm] \alpha [/mm] diese Möglichkeiten
[mm] 1+(\alpha_{2}=0)=1 [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial u}{\partial x_{1}} [/mm] und
[mm] (\alpha_{1}=0)+1=1 [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial u}{\partial x_{2}}.
[/mm]
Falls es bis hier hin richtig ist, woher weiß ich welches ich nehmen muss damit die Reihe
[mm] u_{1}=u(x_{1},x_{2})+???
[/mm]
vervollständigt werden kann. Mir fehlt dieser Gedankenanstoß.
mfG,
natural
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Hiho,
> Sei [mm]u(x_{1},x_{2})[/mm] und m=1.
>
> Dann gibt es für [mm]\alpha[/mm] diese Möglichkeiten
> [mm]1+(\alpha_{2}=0)=1[/mm] bzw. [mm]\bruch{\partial u}{\partial x_{1}}[/mm]
> und
> [mm](\alpha_{1}=0)+1=1[/mm] bzw. [mm]\bruch{\partial u}{\partial x_{2}}.[/mm]
> Falls es bis hier hin richtig ist, woher weiß ich welches
> ich nehmen muss damit die Reihe
> [mm]u_{1}=u(x_{1},x_{2})+???[/mm]
> vervollständigt werden kann.
alle!
Der Index $|a| [mm] \le [/mm] m$ sagt, dass du über alle $a = [mm] (a_1,\ldots,a_n)$ [/mm] mit $|a| [mm] \le [/mm] m$ summieren sollst.
Als Beispiel:
Es ist [mm] $\summe_{|a| = 1} \partial^a [/mm] u = [mm] \frac{\partial}{dx_1}u [/mm] + [mm] \frac{\partial}{dx_2}u$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 05.01.2016 | | Autor: | natural |
Vielen Dank Gono,
jetzt habe ich es begriffen.
Danke, dass du dir Zeit dafür genommen hast und einen schönen Abend noch!
LG,
natural
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