matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenMultinomialkoeffizient
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Multinomialkoeffizient
Multinomialkoeffizient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Multinomialkoeffizient: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:31 Mo 04.12.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.

In einem Beweis kommt folgendes vor:

(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + $ [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]


Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.

Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem Corollar vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass

[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]


Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?

----

Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....


Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})? [/mm]
Kann mir das jemand erklären?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Multinomialkoeffizient: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:20 Do 07.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Multinomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:18 Do 07.12.2017
Autor: X3nion

Guten Morgen,
hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen :-)

Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.

In einem Beweis kommt folgendes vor:

(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]


Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.

Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass

[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]


Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?

----

Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....


Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})? [/mm]
Kann mir das jemand erklären?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Multinomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Guten Morgen,
>  hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen :-)
>  
> Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.
>
> In einem Beweis kommt folgendes vor:
>
> (*) [mm]\frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t)[/mm] =
> [mm]\summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x +
> [mm]t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}.[/mm]
>
>
> Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion
> bewiesen.
>
> Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm](i_{1},[/mm]
> ..., [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2
> genau [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die
> Reihenfolge der Differentiation folgt, dass
>
> [mm]D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}[/mm]
> = [mm]D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}}[/mm]
>
>
> Zwischenfrage
> Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm](i_{1},[/mm] ...,
> [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2 genau
> [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel
> erläutern?

Hallo,
wenn du z.B. bei 5 Variablen die Ableitung [mm]D_2D_3D_1D_1D_3D_1f[/mm] betrachtest, dann ist [mm]\alpha_1=3,\alpha_2=1,\alpha_3=2,\alpha_4=\alpha_5=0[/mm].

>
> ----
>
> Weiter steht es im Text: Da es aber genau
> [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm] k-tupel
> [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})[/mm] von Zahlen 1 [mm]\le i_{K} \le[/mm] n gibt, bei
> denen der Index v genau [mm]\alpha_{v}[/mm] vorkommt (v = 1, ..., n,
> [mm]\alpha_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}[/mm] 6 ... + [mm]\alpha_{n}[/mm] = k), ....
>
>
> Frage 2
> Wieso gibt es genau [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm]
> k-tupel [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})?[/mm]
> Kann mir das jemand erklären?

Es handelt sich um Permutationen mit Wiederholung, siehe z.B.
https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutation_mit_Wiederholung

>
>
> Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Multinomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Sa 09.12.2017
Autor: X3nion

Guten Abend donquijote und vielen Dank für deinen Beitrag, es ist mir nun klar geworden!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]