Multinomialkoeffizient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Mo 04.12.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.
In einem Beweis kommt folgendes vor:
(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + $ [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}.
[/mm]
Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.
Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem Corollar vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass
[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}}
[/mm]
Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?
----
Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....
Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})?
[/mm]
Kann mir das jemand erklären?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Do 07.12.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:18 Do 07.12.2017 | | Autor: | X3nion |
Guten Morgen,
hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen 
Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.
In einem Beweis kommt folgendes vor:
(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]
Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.
Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass
[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]
Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?
----
Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....
Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})? [/mm]
Kann mir das jemand erklären?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
|
|
|
| |
|
> Guten Morgen,
> hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen
>
> Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.
>
> In einem Beweis kommt folgendes vor:
>
> (*) [mm]\frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t)[/mm] =
> [mm]\summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x +
> [mm]t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}.[/mm]
>
>
> Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion
> bewiesen.
>
> Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm](i_{1},[/mm]
> ..., [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2
> genau [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die
> Reihenfolge der Differentiation folgt, dass
>
> [mm]D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}[/mm]
> = [mm]D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}}[/mm]
>
>
> Zwischenfrage
> Was bedeutet es, dass unter den Indizes [mm](i_{1},[/mm] ...,
> [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2 genau
> [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel
> erläutern?
Hallo,
wenn du z.B. bei 5 Variablen die Ableitung [mm]D_2D_3D_1D_1D_3D_1f[/mm] betrachtest, dann ist [mm]\alpha_1=3,\alpha_2=1,\alpha_3=2,\alpha_4=\alpha_5=0[/mm].
>
> ----
>
> Weiter steht es im Text: Da es aber genau
> [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm] k-tupel
> [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})[/mm] von Zahlen 1 [mm]\le i_{K} \le[/mm] n gibt, bei
> denen der Index v genau [mm]\alpha_{v}[/mm] vorkommt (v = 1, ..., n,
> [mm]\alpha_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}[/mm] 6 ... + [mm]\alpha_{n}[/mm] = k), ....
>
>
> Frage 2
> Wieso gibt es genau [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm]
> k-tupel [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})?[/mm]
> Kann mir das jemand erklären?
Es handelt sich um Permutationen mit Wiederholung, siehe z.B.
https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutation_mit_Wiederholung
>
>
> Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Sa 09.12.2017 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend donquijote und vielen Dank für deinen Beitrag, es ist mir nun klar geworden!
Viele Grüße,
X3nion
|
|
|
|
