Multiplikation Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Zeigen SIe für alle nat Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2 die Ungleichung
[mm] (1+\bruch{1}{n-1})^n [/mm] > [mm] (1+\bruch{1}{n})^n^+^1 [/mm] |
Hallo, habe folgendes Problem.
Erstmal habe ich für n=2 geprüft ob die Bedingung wahr ist.
[mm] (1+\bruch{1}{2-1})^2 [/mm] > [mm] (1+\bruch{1}{2})^2^+^1
[/mm]
4 > 3,375 also wahr
Dann so begonnen
[mm] (1+\bruch{1}{n-1})^n^+^1 [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n-1})(1+\bruch{1}{n-1})^n
[/mm]
[mm] >(1+\bruch{1}{n-1})(1+\bruch{1}{n})^n^+^1
[/mm]
Doch wie multiplizier ich die beiden Faktoren hier ?
lg
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 05.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Zeigen SIe für alle nat Zahlen n [mm]\ge[/mm] 2 die Ungleichung
>
> [mm](1+\bruch{1}{n-1})^n[/mm] > [mm](1+\bruch{1}{n})^n^+^1[/mm]
> Hallo, habe folgendes Problem.
> Erstmal habe ich für n=2 geprüft ob die Bedingung wahr
> ist.
> [mm](1+\bruch{1}{2-1})^2[/mm] > [mm](1+\bruch{1}{2})^2^+^1[/mm]
> 4 > 3,375 also wahr
>
> Dann so begonnen
> [mm](1+\bruch{1}{n-1})^n^+^1[/mm] =
> [mm](1+\bruch{1}{n-1})(1+\bruch{1}{n-1})^n[/mm]
> [mm]>(1+\bruch{1}{n-1})(1+\bruch{1}{n})^n^+^1[/mm]
>
Der zu beweisende Induktionsschritt lautet aber
[mm] \left(1+\br{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\br{1}{n+1}\right)^{n+2}
[/mm]
> Doch wie multiplizier ich die beiden Faktoren hier ?
>
> lg
> Flo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Coup |
Und wieso muss ich nun das beweisen und nicht wie in Aufgabenstellung ?
*Auf dem Schlauch steh*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Fr 05.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Aufgabe war doch
[mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
zu beweisen.
Der Induktionsanfang mit n=2 ist richtig.
Die Induktionsannahme ist, das [mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} [/mm] gilt.
Der Induktionsschluß ist nun, das bewiesen werden muss
[mm] \left(1+\bruch{1}{n+1-1}\right)^{n+1}>\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1+1}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
und wie beweise ich jetzt den Induktionsschluß? Auf selbigen bin ich auch gekommen, kann aber leider nichts damt anfangen. Einen Tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:04 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn der Beweis auf diese Weise nicht klappen will, dann sucht man eben nach einem anderen.
Tipp :
Mit der Bernoullischen Ungleichung
" Für alle [mm] n\in\IN, [/mm] x>-1 gilt [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1 + n [mm] \cdot [/mm] x " und für [mm] n\ge2 [/mm] sogar
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] > 1 + (n+1) [mm] \cdot [/mm] x
und der Einsetzung x = [mm] \bruch{1}{n^2-1} [/mm] ergibt sich
[mm] (1+\bruch{1}{n^2-1})^{n+1} [/mm] > 1 + [mm] \bruch{n+1}{n^2-1} [/mm] .
Daraus lässt sich die behauptete Ungleichung durch elementare Umformungen herleiten.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 So 07.11.2010 | | Autor: | Coup |
Ich weis leider auch nicht wie ich hier multiplizieren soll.
Ist denn [mm] (1+\bruch{1}{n})(1+\bruch{1}{n})^n^+^2 [/mm] richtig ?
Wenn ja muss ich ja an dieser Stelle ausmultiplizieren.
Also
1+ [mm] \bruch{1}{n}^n^+^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + (Hier wusst ich nicht wie..)
Falls ich ganz falsch liege, kann mich wer korrigieren ?
liebe grüße
Flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 07.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hatte mir das wie folgt gedacht
Zu zeigen war ja
[mm] \left(1+\br{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\br{1}{n+1}\right)^{n+2} \gdw
[/mm]
[mm] \left(\br{1+\br{1}{n}}{1+\br{1}{n+1}}\right)^{n+1}>1+\br{1}{n+1} \gdw
[/mm]
[mm] \left[\br{(n+1)^2}{n(n+2)}\right]^{n+1}>1+\br{1}{n+1} \gdw
[/mm]
[mm] \left[1+\br{1}{n(n+2)}\right]^{n+1}>1+\br{1}{n+1} [/mm] und das ist wegen der Bernoullischen Ungleichung richtig, also stimmt die Behauptung.
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