Multiplikation am runden Tisch < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Moin Moin,
Ich hab da eine Frage deren Lösung mir nicht einfallen will und vielleicht (sicher!) wird mir ja hier geholfen.
Einführung:
Eine Kollegin von mir hat eine /sehr) kleine Weihnachtspyramide. Es ist ein winziges Gestell das über ein einziges Teelicht gestellt wird und deren Fächer/Flügel (wo der warme Wind von unten noch oben steigt und damit) das Rad zu drehen bringt. Es dreht sich immer im Kreis.
An diesen Fächern/Flügeln hängen insgesamt 7 verschiedene Figuren wie z.B. ein Schaf, ein Esel, Josef und Maria usw. Die Figuren werden einzelnd angehängt an die Flügel/ Fächer und sind unterschiedlich schwer.
Letztens sind dann ein paar Tiere herunter gefallen und ich habe diese wieder aufgehängt. Meine Kollegin war darauf hin ganz begeistert, da die Pyramide nun laut ihrer Aussage erstmals sehr gerade ausbalanciert sei und wollte sich diese Reihenfolge für das nächste Jahr aufschreiben. Nun gut, es kam wie es kommen musste und irgendwie ist es wieder herunter gefallen und "mein System" war dahin.
Ich meinte nur lapidar, das sie ja dann ja etwas in der nächsten Vorweihnachtszeit zu tun habe um die beste Reihenfolge heraus zu finden...
Dann überlegten wir, wieviel Möglichkeiten es wohl geben würde bzw. wieviel verschiedene Varianten es wohl maximal geben würde?
Wir kamen nicht drauf, auch nicht mit aufmalen, da sich das ganze ja dreht und somit einige Kombinationen weg fallen.
Bei drei Figuren gäbe es nur zwei Möglichkeiten, siehe das unter stehende Beispiel:
a) 1-2-3
b) 1-3-2
c) 2-1-3 (fällt raus, da gleich wie Nr.b)
d) 2-3-1 (fällt raus, da gleich wie Nr.a)
e) 3-2-1 (fällt raus, da gleich wie Nr.b)
f) 3-1-2 (fällt raus, da gleich wie Nr.a)
Die Nr.c-f fallen ja raus, weil sich das Ding im Kreis dreht und es ja nur darum geht das Gleichgewicht herzustellen. daher ist a das gleiche wie d + f bzw. b das Gleiche wie c + e.
Hab ich mich verständlich ausgedrückt?
Ich hoffe, wenn nicht, bitte nachfragen...
Nun zur eigentlichen Frage:
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es bei sieben Figuren die sich alle im Kreis drehen?
Ich hab recht schnell 49 (7x7) gesagt, meine Schwester meinte 21 und eine andere Kollegin meinte gar 108...
Sicher könnte ich das jetzt auch alles aufmalen bzw. alle Varianten aufschreiben... aber für sowas gibt es doch bestimmt einen schnellerern Weg bzw. ne Formel oder so.
Wie diese hier z.B. 1*2*3*4*5*6*7 = 7!
Aber 720 kann ja gar nicht sein, das ist gefühlt viel zu viel. Entschuldigt bitte, ich habe nur Hauptschulabschluss... ich bin da einfach überfordert. :-(
Jedenfalls bin ich gespannt, was (wirklich) dabei raus kommt.  |
Moin Moin,
Ich hab da eine Frage deren Lösung mir nicht einfallen will und vielleicht (sicher!) wird mir ja hier geholfen.
Einführung:
Eine Kollegin von mir hat eine /sehr) kleine Weihnachtspyramide. Es ist ein winziges Gestell das über ein einziges Teelicht gestellt wird und deren Fächer/Flügel (wo der warme Wind von unten noch oben steigt und damit) das Rad zu drehen bringt. Es dreht sich immer im Kreis.
An diesen Fächern/Flügeln hängen insgesamt 7 verschiedene Figuren wie z.B. ein Schaf, ein Esel, Josef und Maria usw. Die Figuren werden einzelnd angehängt an die Flügel/ Fächer und sind unterschiedlich schwer.
Letztens sind dann ein paar Tiere herunter gefallen und ich habe diese wieder aufgehängt. Meine Kollegin war darauf hin ganz begeistert, da die Pyramide nun laut ihrer Aussage erstmals sehr gerade ausbalanciert sei und wollte sich diese Reihenfolge für das nächste Jahr aufschreiben. Nun gut, es kam wie es kommen musste und irgendwie ist es wieder herunter gefallen und "mein System" war dahin.
Ich meinte nur lapidar, das sie ja dann ja etwas in der nächsten Vorweihnachtszeit zu tun habe um die beste Reihenfolge heraus zu finden...
Dann überlegten wir, wieviel Möglichkeiten es wohl geben würde bzw. wieviel verschiedene Varianten es wohl maximal geben würde?
Wir kamen nicht drauf, auch nicht mit aufmalen, da sich das ganze ja dreht und somit einige Kombinationen weg fallen.
Bei drei Figuren gäbe es nur zwei Möglichkeiten, siehe das unter stehende Beispiel:
a) 1-2-3
b) 1-3-2
c) 2-1-3 (fällt raus, da gleich wie Nr.b)
d) 2-3-1 (fällt raus, da gleich wie Nr.a)
e) 3-2-1 (fällt raus, da gleich wie Nr.b)
f) 3-1-2 (fällt raus, da gleich wie Nr.a)
Die Nr.c-f fallen ja raus, weil sich das Ding im Kreis dreht und es ja nur darum geht das Gleichgewicht herzustellen. daher ist a das gleiche wie d + f bzw. b das Gleiche wie c + e.
Hab ich mich verständlich ausgedrückt?
Ich hoffe, wenn nicht, bitte nachfragen...
Nun zur eigentlichen Frage:
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es bei sieben Figuren die sich alle im Kreis drehen?
Ich hab recht schnell 49 (7x7) gesagt, meine Schwester meinte 21 und eine andere Kollegin meinte gar 108...
Sicher könnte ich das jetzt auch alles aufmalen bzw. alle Varianten aufschreiben... aber für sowas gibt es doch bestimmt einen schnellerern Weg bzw. ne Formel oder so.
Wie diese hier z.B. 1*2*3*4*5*6*7 = 7!
Aber 720 kann ja gar nicht sein, das ist gefühlt viel zu viel. Entschuldigt bitte, ich habe nur Hauptschulabschluss... ich bin da einfach überfordert. :-(
Jedenfalls bin ich gespannt, was (wirklich) dabei raus kommt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www92.hattrick.org/Forum/Read.aspx?n=1&nm=40&t=16747430&v=4]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 27.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Du hast das klasse angefangen und bist praktisch am Ziel.
Zuerst werden alle möglichen Reihenfolgen hingeschrieben.
Für 3 Plätze ergibt dies 3! Möglichkeiten.
Für 7 Plätze ergibt dies 7! Möglichkeiten.
Nun hast Du auch gesehen, dass dabei aber etliche Reihenfolgen mehfach gezählt wurden. Dem muss nur ein wenig nachgegangen werden:
1-2-3 wird um eines verschoben zu 2-3-1 und nochmal verschoben zu 3-1-2. Also kommt die gleiche Reihenfolge 3 mal vor. Das gilt entsprechend für die Abfolge 1-3-2.
Also muss die Zahl 3! durch 3 geteilt werden. Das ergibt 2! = 2 Anordnungen.
Entsprechend läuft die Argumentation für 7. Also gibt es 7!/7 = 6! = 720 Anordnungen.
Ich habe auch über diese Anzahl gestaunt. Du kannst sie noch halbieren, wenn Du davon ausgehst, dass es für das Gleichgewicht auf das Gleiche herauskommt, ob die Anordnung mit oder gegen den Uhrzeigersinn geht.
Es gibt auch eine andere Betrachtung, die zu dem gleichen Ergebnis kommt:
Die erste Figur kann an irgendeinen Platz gehängt werden. Da es im Kreis geht, kann sie da hängen bleiben, nur die anderen werden umgehängt. Für den Rest bleiben 6! Anordnungen.
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Vielen, vielen Dank! Das ging sehr schnell und dank Deiner Herleitung kann das sogar ich nachvollziehen! 
Ich glaube ich habe es verstanden. Also da es für das Gleichgewicht egal ist, ist die Lösung das 360.
Das hätte ich echt nicht gedacht... puhh. Hab dann wohl ne Wette verloren, bin aber um eine Erkenntnis reicher und habe etwas gelernt.
Mfg
Franz-Kremer
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