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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Multiplikation komplexe Zahlen
Multiplikation komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Multiplikation komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Do 31.10.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Gegeben sind die komplexen Zahlen z1= 3+5i  und  z2= 4-2i. Berechnen und Veranschaulichen Ihre lösungen in der Komplexen Zahlenebene.
a) z1 * z2
b) z1 / z2
c) [mm] z1^2 [/mm]
d) |z1|

a)Zuerst hab ich z1 und z2 in Polardarstellung umgeschrieben.
z= x+ iy => z= r(cos(α)+ i*sin(α)     r= [mm] √(a^2+b^2) [/mm]
                                   α= arctan(b/a)
So dann hab ich also r und α bestimmt. In meinem Bsp:
   z1= √34 * (cos(59°)+ i*sin(59°))
   z2= √20 * (cos(26,5°)+ i*sin(26,5))

So dann hab ich die beiden multipliziert:
z1*z2= r1*r2*(cos(α+β)+ i*sin(α+β))

Wenn ich dann die ganzen Werte einsetz:
z1*z2= √34*√20 * (cos(59+26,5)+ i*sin(59+26,5)
     = √680 *  (cos(85,5)+ i*sin(85,5))

beim zeichnen geh ich dann einfach vom Ursprung aus eine Strecke von √680 und drehe diese um 85,5° oder?

b) Die Division geht synchron. Nur dass ich mach z1* 1/z2.
und 1/z2= 1/r2( cos(α)- i*sin(α)) oder?

c) Kann ich bei der Quadrierung nicht einfach z1*z1 machen. Also wieder analog zur Multiplikation?

d)  |z1|= |x+iy|= [mm] √(x^2*y^2) [/mm]
Also: |z1|= [mm] √(3^2+5^2)=√34= [/mm] 5,83
Veranschaulichen kann ich den Betrag vllt. als die Länge des Pfeils zu z1.  


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Multiplikation komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 31.10.2013
Autor: fred97


> Gegeben sind die komplexen Zahlen z1= 3+5i  und  z2= 4-2i.
> Berechnen und Veranschaulichen Ihre lösungen in der
> Komplexen Zahlenebene.
>  a) z1 * z2
>  b) z1 / z2
>  c) [mm]z1^2[/mm]
>  d) |z1|
>  a)Zuerst hab ich z1 und z2 in Polardarstellung
> umgeschrieben.

Ich glaube nicht , dass das im Sinne des Erfinders der Aufgabe ist !


>  z= x+ iy => z= r(cos(α)+ i*sin(α)     r= [mm]√(a^2+b^2)[/mm]

>                                     α= arctan(b/a)
>  So dann hab ich also r und α bestimmt. In meinem Bsp:
>     z1= √34 * (cos(59°)+ i*sin(59°))
>     z2= √20 * (cos(26,5°)+ i*sin(26,5))
>  
> So dann hab ich die beiden multipliziert:
>  z1*z2= r1*r2*(cos(α+β)+ i*sin(α+β))
>  
> Wenn ich dann die ganzen Werte einsetz:
>  z1*z2= √34*√20 * (cos(59+26,5)+ i*sin(59+26,5)
>       = √680 *  (cos(85,5)+ i*sin(85,5))
>  
> beim zeichnen geh ich dann einfach vom Ursprung aus eine
> Strecke von √680 und drehe diese um 85,5° oder?

Es ist doch [mm] $z_1*z_2=(3+5i)*(4-2i)=12-6i+20i+10=22+14i$ [/mm]

Kannst Du das in der komplexen Ebene zeichnen ?


>  
> b) Die Division geht synchron. Nur dass ich mach z1* 1/z2.
> und 1/z2= 1/r2( cos(α)- i*sin(α)) oder?

Es ist [mm] \bruch{z_1}{z_2}=\bruch{z_1*\overline{z_2}}{|z_2|^2} [/mm]

Schreibe das in der Form a+ib.


>  
> c) Kann ich bei der Quadrierung nicht einfach z1*z1 machen.

Ja, abe so wie ich Dir das bei [mm] z_1*z_2 [/mm] vorgemacht habe.


> Also wieder analog zur Multiplikation?
>  
> d)  |z1|= |x+iy|= [mm]√(x^2*y^2)[/mm]

Ups, was ist das ? Du meinst sicher [mm] |z_1|= \wurzel{x^2+y^2} [/mm]

>  Also: |z1|= [mm]√(3^2+5^2)=√34=[/mm] 5,83

Lass doch die dämliche Dezimalschreibweise !

    [mm] |z_1|= \wurzel{3^2+5^2}=|z_1|= \wurzel{34} [/mm]

FRED

>  Veranschaulichen kann ich den Betrag vllt. als die Länge
> des Pfeils zu z1.  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Multiplikation komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Do 31.10.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe 1
Gegeben sind die komplexen Zahlen z1= 3+5i  und  z2= 4-2i.
Berechnen und Veranschaulichen Ihre lösungen in der
Komplexen Zahlenebene.
>  a) z1 * z2
>  b) z1 / z2
>  c) [mm] z1^2 [/mm]
>  d) |z1|


Aufgabe 2
Addieren Sie folgenden komplexe Zahlen:

z2= 4-2i
z3= √2e^-iπ/4

also erstmal danke für deine antwort.

ich hab des jetztb alles nachgerechnet und gemerkt dass ich mir des alles unnötig kompliziert gemacht hab.
Nur zur Division hätte ich noch eine frage:
z1/z2= [mm] (z1*z2)/|z2|^2 [/mm] das heisst also die beiden komplexen zahlen multiplizieren und dann sowohl den realteil als auch den imaginärteil durch eine reellle zahl teilen? also in meinem fall: (22+ 14i)/20= 2,2+ 0,7i?

Zeichnen kann ich. Ich muss einfach nur den Imaginärteil an der y-Achse auftragen und den Realteil an der x-Achse.

Ich hätte noch eine andere Frage: Wie addiere ich zwei komplexe Zahlen in verschiedenen Formen? D.h. die eine in kartesischer Form und die andere in der Eulerschen Form.
Muss ich die Formen dann angleichen?  

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Multiplikation komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Do 31.10.2013
Autor: fred97


> Gegeben sind die komplexen Zahlen z1= 3+5i  und  z2= 4-2i.
>   Berechnen und Veranschaulichen Ihre lösungen in der
>   Komplexen Zahlenebene.
>  >  a) z1 * z2
>  >  b) z1 / z2
>  >  c) [mm]z1^2[/mm]
> >  d) |z1|

>  Addieren Sie folgenden komplexe Zahlen:
>  
> z2= 4-2i
>  z3= √2e^-iπ/4
>  also erstmal danke für deine antwort.
>  
> ich hab des jetztb alles nachgerechnet und gemerkt dass ich
> mir des alles unnötig kompliziert gemacht hab.
>  Nur zur Division hätte ich noch eine frage:
> z1/z2= [mm](z1*z2)/|z2|^2[/mm] das heisst also die beiden komplexen
> zahlen multiplizieren und dann sowohl den realteil als auch
> den imaginärteil durch eine reellle zahl teilen? also in
> meinem fall: (22+ 14i)/20= 2,2+ 0,7i?

ja


>  
> Zeichnen kann ich. Ich muss einfach nur den Imaginärteil
> an der y-Achse auftragen und den Realteil an der x-Achse.
>  
> Ich hätte noch eine andere Frage: Wie addiere ich zwei
> komplexe Zahlen in verschiedenen Formen? D.h. die eine in
> kartesischer Form und die andere in der Eulerschen Form.
>  Muss ich die Formen dann angleichen?  

ja

FRED

>
> Vielen Dank


Bezug
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