Multiplikation mit Inverser M. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Di 16.06.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe 1 | | Es seien A, B [mm] \in K^{n\times n} [/mm] so, dass AB = I (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass BA = I. |
| Aufgabe 2 | | Geben Sie ein Beispiel für K, A [mm] \in K^{m\times n} [/mm] und B [mm] \in K^{n\times m} [/mm] so, dass AB = I aber BA [mm] \neq [/mm] I. Warum ist dies kein Widerspruch zu i)? |
Hallo,
für die oben genannte ersten Aufgabe habe ich folgende Lösung, bin mir jedoch nicht sicher:
Seien A, B, I [mm] \in K^{n\times n} [/mm] so dass A = [mm] B^{-1} [/mm] und I Einheitsmatrix.
Dann gilt: [mm] A\cdot{B} [/mm] = [mm] B^{-1}\cdot{B} [/mm] = [mm] B\cdot{B^{-1}} [/mm] = [mm] B\cdot{A} [/mm] = I
Da die Aufgabe aber viele Punkte gibt, kommt mir das etwas zu trivial vor, deswegen frage ich. Ist meine Lösung korrekt?
Bei der zweiten Aufgabe habe ich keinen Ansatz. Da die inverse Matrix nur auf quadratischenb Matrizen definiert ist, ist das nxm doch eigentlich faktisch ein nxn, und dann gilt ja das was wir in (1) bewiesen haben. Wie soll ich da denn etwas finden das genau gegen diesen Beweis verstößt?
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 16.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Es seien A, B [mm]\in K^{n\times n}[/mm] so, dass AB = I
> (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass BA = I.
>
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> Geben Sie ein Beispiel für K, A [mm]\in K^{m\times n}[/mm] und B
> [mm]\in K^{n\times m}[/mm] so, dass AB = I aber BA [mm]\neq[/mm] I. Warum ist
> dies kein Widerspruch zu i)?
>
>
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> Hallo,
>
> für die oben genannte ersten Aufgabe habe ich folgende
> Lösung, bin mir jedoch nicht sicher:
>
> Seien A, B, I [mm]\in K^{n\times n}[/mm] so dass A = [mm]B^{-1}[/mm] und I
> Einheitsmatrix.
> Dann gilt: [mm]A\cdot{B}[/mm] = [mm]B^{-1}\cdot{B}[/mm] = [mm]B\cdot{B^{-1}}[/mm] =
> [mm]B\cdot{A}[/mm] = I
>
> Da die Aufgabe aber viele Punkte gibt, kommt mir das etwas
> zu trivial vor, deswegen frage ich. Ist meine Lösung
> korrekt?
Ich fuerchte nein. Du hast vorausgesetzt, dass $A$ die Inverse zu $B$ ist, doch das ist eigentlich, was zu zeigen ist. Ich moechte die Aufgabenstellung so umformulieren: Angenommen es gibt zu $B$ eine Matrix $A$, sodass $B$ von links mit $A$ multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Dann ergibt auch $B$ von rechts mit $A$ multipliziert die Einheitsmatrix. M.a.W. $A= [mm] B^{-1}$ [/mm] schon dann, wenn nur "die Haelfte" der Definitionsgleichung fuer die Inverse erfuellt ist.
Zum Beweis der Aussage koennte man so vorgehen:
1. Zeige, dass $B$ unter den Voraussetzungen invertierbar ist (also nicht nur einseitig invertierbar), und damit [mm] $B^{-1}$ [/mm] ueberhaupt existiert.
2. Zeige, dass [mm] $B^{-1}= [/mm] A$ ist.
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> Bei der zweiten Aufgabe habe ich keinen Ansatz. Da die
> inverse Matrix nur auf quadratischenb Matrizen definiert
> ist, ist das nxm doch eigentlich faktisch ein nxn, und dann
> gilt ja das was wir in (1) bewiesen haben. Wie soll ich da
> denn etwas finden das genau gegen diesen Beweis
> verstößt?
S.o. es ist eben keine richtige Inverse, sondern nur eine einseitige. Ich behaupte, dass Du mit ein bisschen herumprobieren irgendwelche Beispiele zweier nicht quadratischer Matrizen $A$, $B$ findest, sodass $AB$ Einheitsmatrix ist. Du wirst feststellen, dass dann nicht auch $BA$ die Einheitsmatrix ist.
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> Liebe Grüße,
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> Ceriana
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