Multiplikation mit nicht-Körper-Einheit? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 So 16.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich habe hier eine Aufgabe gelöst (denke ich), aber die Lösung scheint mir
irgendwie unadäquat den Punkten entsprechend, deswegen würde ich euch
bitten, mal schnell rüber zu schauen und mir meine Fehler aufzudecken ^^
Es seien [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] Körper mit [mm]K[/mm] Teilmenge [mm]L[/mm] und es seien [mm]A[/mm], [mm]A'[/mm] [mm] \in[/mm] [mm]K^{nxn}[/mm]. Dann kann man [mm]A[/mm] und [mm]A'[/mm] auch als Elemente von [mm]L^{nxn}[/mm] auffassen.
Zeigen sie:
Wenn es eine invertierbare Matrix [mm]P \in L^{nxn}[/mm] mit [mm]A'=P^{-1}AP[/mm] gibt,
so gibt es auch eine invertierbare Matrix [mm]Q \in K^{nxn}[/mm] mit [mm]A'=Q^{-1}AQ[/mm].
Mein Beweis:
Sei [mm]K=L[/mm], dann ist trivialer Weise [mm]Q=P[/mm].
Sei [mm]K[/mm] echte Teilmenge von [mm]L[/mm], dann folgt aus [mm]A' \in K^{nxn}[/mm] mit [mm]A'=P^{-1}AP[/mm], dass [mm]P^{-1}AP \in K^{nxn}[/mm] sein muss.
Wegen [mm]P^{-1}AP \in K^{nxn}[/mm] folgt aber sofort, dass [mm]P[/mm] und damit auch das Inverse in [mm]K^{nxn}[/mm] liegen müssen, da sonst die Multiplikation mit [mm]P[/mm] im Körper [mm]K [/mm] nicht definiert ist.
Also wäre auch hier [mm]Q=P[/mm].
Das ist dann meine Frage, reicht diese Argumentation, als Beispiel:
Sei[mm]K=\IQ[/mm], [mm]L=\IR[/mm], [mm]n=1[/mm], [mm]A,A'=5[/mm] und [mm]P=\wurzel{2}[/mm].
Dann ist ja [mm]5=\bruch{1}{\wurzel{2}} * 5 * \wurzel{2} \in \IR[/mm], [mm]5[/mm] ist aber auch in [mm] \IQ.
[/mm]
In [mm] \IQ [/mm] sind aber nur Addition und Multiplikation mit Elementen aus [mm] \IQ [/mm] definiert, also ergibt die obige Operation in [mm] \IQ [/mm] keinen Sinn.
Dummerweise würde das den Beweis aushebeln (oder würde es sogar ein
Gegenbeispiel sein?)...
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo AT-Colt,
ich habe auch noch keinen Beweis, wollte aber schon mal was zu deinem "Gegenbeispiel" sagen.
> Es seien [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] Körper mit [mm]K[/mm] Teilmenge [mm]L[/mm] und es seien [mm]A[/mm],
> [mm]A'[/mm] [mm] \in[/mm] [mm]K^{nxn}[/mm]. Dann kann man [mm]A[/mm] und [mm]A'[/mm] auch als Elemente
> von [mm]L^{nxn}[/mm] auffassen.
> Zeigen sie:
> Wenn es eine invertierbare Matrix [mm]P \in L^{nxn}[/mm] mit
> [mm]A'=P^{-1}AP[/mm] gibt,
> so gibt es auch eine invertierbare Matrix [mm]Q \in K^{nxn}[/mm] mit
> [mm]A'=Q^{-1}AQ[/mm].
> Das ist dann meine Frage, reicht diese Argumentation, als
> Beispiel:
> Sei[mm]K=\IQ[/mm], [mm]L=\IR[/mm], [mm]n=1[/mm], [mm]A,A'=5[/mm] und [mm]P=\wurzel{2}[/mm].
>
> Dann ist ja [mm]5=\bruch{1}{\wurzel{2}} * 5 * \wurzel{2} \in \IR[/mm],
> [mm]5[/mm] ist aber auch in [mm] \IQ.
[/mm]
>
> In [mm] \IQ [/mm] sind aber nur Addition und Multiplikation mit
> Elementen aus [mm] \IQ [/mm] definiert, also ergibt die obige
> Operation in [mm] \IQ [/mm] keinen Sinn.
> Dummerweise würde das den Beweis aushebeln (oder würde es
> sogar ein
> Gegenbeispiel sein?)...
Nein, ich denke nicht bzw. die Verknüpfungen zwischen [mm] $P^{-1}$, [/mm] $A$ und $P$ in [mm] $A'=P^{-1}AP$ [/mm] sind im Körper $L$ gemeint und nicht im Unterkörper $K$.
Dein Beispiel ist also kein Gegenbeispiel, denn es gibt ja ein [mm] $Q\in\IQ$, [/mm] so dass [mm] $5=Q^{-1}*5*Q$. [/mm] Und man sieht auch schnell, dass dies für alle [mm] $A,A'\in\IQ$ [/mm] gilt.
Das wollte ich nur mal loswerden 
Vielleicht beschäftige ich mich gleich auch mit dem Beweis.
Huch, is sehe gerade, dass du genau so ja auch im Beweis argumentierst, meinst du Gegenbeispiel dann als Gegenbeispiel für die Argumentation in deinem Beweis? Das stimmt nämlich, dein Beispiel zeigt, dass deine Beweislogik nicht in Ordnung ist.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 So 16.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen,
also entweder ich mache einen tierischen Denkfehler oder aber die Aufgabe ist trivialst.
Vermutlich ersteres... 
Wenn $A [mm] \in K^{n\times n}$ [/mm] und $A' [mm] \in K^{n\times n}$, [/mm] aufgefasst als Elemente von [mm] $L^{n \times n}$, [/mm] ähnlich sind, dann besitzen sie die gleiche kanonische rationale Normalform. Diese rationale Normalform ist aber ein Element von [mm] $K^{n \times n}$. [/mm] Da die kanonische rationale Normalform bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmt ist und immer existiert, muss sie auch die (bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmte) kanonische rationale Form von $A$ und $A'$ in [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] sein (denn wäre sie das nicht, dann gäbe es ja von $A$ oder $A'$ eine (elementar) verschiedene kanonische rationale Normalform in [mm] $K^{n \times n}$, [/mm] und diese ließe sich auch in kanonischer Weise als kanonische rationale Normalform in [mm] $L^{n \times n}$ [/mm] auffassen, Widerspruch zur (elementaren) Eindeutigkeit der kanonischen rationalen Form in [mm] $L^{n \times n}$!). [/mm] Daher haben $A$ und $A'$ die gleiche kanonische rationale Normalform in [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] und sind daher ähnlich.
Hmmm... das erscheint mir jetzt zu einfach. Wo ist bitte mein Denkfehler?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 19.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hm... ich hab mir das mal durch den Kopf gehen lassen und Du hast recht:
Es scheint ziemlich trivial zu sein...
Ich versuch mal, es mit eigenen Worten zu wiederholen, vielleicht wird da
ja ein Fehler (oder die Richtigkeit) ersichtlich:
Also wir haben [mm]A, A' \in L^{nxn}[/mm], dort sind sie ähnlich zueinander.
Ähnliche Matrizen haben die gleiche rationale kanonische Form (da man sie
mit einer Matrix [mm]P[/mm] und deren Inversem elementar (?) ineinander
überführen kann?), soweit sind wir in [mm]L[/mm] bedient.
Da [mm]A, A'[/mm] aber auch Elemente von [mm]K^{nxn}[/mm] sind und die
rationale kanonische Form, die aus den Diagonaleinträgen einer entsprechenden
Diagonalmatrix entsteht, nur Elemente aus [mm]K[/mm] enthält, da diese
Diagonalmatrix aus elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen aus den
Ausgangsmatrizen hervorgeht, muss die rationale kanonische Form auch
in Körper [mm]K[/mm] enthalten sein.
Soweit, so gut, jetzt geht es weiter damit, dass [mm]A, A'[/mm] auch in [mm]K^{nxn}[/mm]
dieselbe rationale kanonische Form haben (die wir oben identifiziert haben).
Kann man sagen, dass Matrizen, die dieselbe rationale kanonische Form
haben, auch ähnlich sind?
In [mm]K[/mm] haben wir ja eigentlich noch nichts über die Ähnlichkeit
ausgesagt und müssen andersrum schließen...
Wenn das geht, habe ich den Beweis nachvollzogen, glaube ich.
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
so im Großen und Ganzen stimmt die Argumentation.
> Hm... ich hab mir das mal durch den Kopf gehen lassen und
> Du hast recht:
> Es scheint ziemlich trivial zu sein...
> Ich versuch mal, es mit eigenen Worten zu wiederholen,
> vielleicht wird da
> ja ein Fehler (oder die Richtigkeit) ersichtlich:
>
> Also wir haben [mm]A, A' \in L^{nxn}[/mm], dort sind sie ähnlich
> zueinander.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ähnliche Matrizen haben die gleiche rationale kanonische
> Form (da man sie
> mit einer Matrix [mm]P[/mm] und deren Inversem elementar (?)
> ineinander
> überführen kann?), soweit sind wir in [mm]L[/mm] bedient.
"Ähnlichkeit" ist eine Äquivalenzrelation. Wenn also zwei Matrizen die gleiche kanonische rationale Form haben, also zur gleichen kanonischen rationalen Form äquivalent sind, müssen sie auch zueinander äquivalent sein (das ist die Transitivität).
> Da [mm]A, A'[/mm] aber auch Elemente von [mm]K^{nxn}[/mm] sind und die
> rationale kanonische Form, die aus den Diagonaleinträgen
> einer entsprechenden
> Diagonalmatrix entsteht, nur Elemente aus [mm]K[/mm] enthält, da
> diese
> Diagonalmatrix aus elementaren Zeilen- und
> Spaltenoperationen aus den
> Ausgangsmatrizen hervorgeht, muss die rationale kanonische
> Form auch
> in Körper [mm]K[/mm] enthalten sein.
Das verstehe ich nicht. Bist du sicher, dass wir von der gleichen kanonischen rationalen Form reden? In "meiner" stehen lauter 1en auf der Nebendiagonalen und dann ganz hinten in der letzten Spalte die Koeffizienten der jeweiligen Faktoren des charakteristischen Polynoms. Das charakteristische Polynom ist aber eine multilineare Abbildung der Koeffizienteneinträge, die alle aus dem Körper $K$ sind, so dass auch die Koeffizienten selbst aus dem Körper $K$ sein müssen. Es geht nicht um Diagonalisierbarkeit, schließlich ist nicht jede Matrix diagonalisierbar. Und die Jordansche Normalform dürfen wir auch nicht nehmen, denn die gibt es nicht für alle [mm] $K^{n \times n}$!
[/mm]
> Soweit, so gut, jetzt geht es weiter damit, dass [mm]A, A'[/mm] auch
> in [mm]K^{nxn}[/mm]
> dieselbe rationale kanonische Form haben (die wir oben
> identifiziert haben).
> Kann man sagen, dass Matrizen, die dieselbe rationale
> kanonische Form
> haben, auch ähnlich sind?
Ja! (Siehe oben: Transitivität der Äquivalenzrelation "ähnlich")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 19.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo,
>
> so im Großen und Ganzen stimmt die Argumentation.
Dann bin ich ja beruhigt, LA ist bei mir irgendwie intuitiv, und das Gefühl
mag ich nicht ^^
> "Ähnlichkeit" ist eine Äquivalenzrelation. Wenn also zwei
> Matrizen die gleiche kanonische rationale Form haben, also
> zur gleichen kanonischen rationalen Form äquivalent sind,
> müssen sie auch zueinander äquivalent sein (das ist die
> Transitivität).
Das ist ne ganz neue Betrachtungsweise, dass Ähnlichkeit eine
Äquivalenzrelation darstellt, habe ich noch gar nicht betrachtet...
Ich werde das mal gleich für mich selbst verifizieren
(ich glaub Dir das schon, aber ich kann von mir selbst noch nicht sagen,
dass ich das weiss ;) )
> Das verstehe ich nicht. Bist du sicher, dass wir von der
> gleichen kanonischen rationalen Form reden? In "meiner"
> stehen lauter 1en auf der Nebendiagonalen und dann ganz
> hinten in der letzten Spalte die Koeffizienten der
> jeweiligen Faktoren des charakteristischen Polynoms. Das
> charakteristische Polynom ist aber eine multilineare
> Abbildung der Koeffizienteneinträge, die alle aus dem
> Körper $K$ sind, so dass auch die Koeffizienten selbst aus
> dem Körper $K$ sein müssen. Es geht nicht um
> Diagonalisierbarkeit, schließlich ist nicht jede Matrix
> diagonalisierbar. Und die Jordansche Normalform dürfen wir
> auch nicht nehmen, denn die gibt es nicht für alle [mm] $K^{n
> \times n}$!
[/mm]
Also wir haben unsere rationalen kanonischen Formen immer gebildet,
indem wir [mm]XE_{n}-A[/mm] gebildet und dann solange umgeformt haben,
bis nurnoch Einträge auf der Diagonalen standen und gilt:
[mm] a_{1,1} [/mm] teilt [mm] a_{2,2} [/mm] teilt ... teilt [mm] a_{n,n}.
[/mm]
Das charakteristische Polynom ist dann das Produkt der Einträge auf der
Hauptdiagonalen und die rationale kanonische Form die Begleitmatrix zu
diesem Polynom (ja, das char. Polynom geht auch anders, wollte es nur mal
in Verbindung bringen ^^).
Also ja, wir scheinen von derselben Matrix zu reden.
> > Kann man sagen, dass Matrizen, die dieselbe rationale kanonische Form
> > haben, auch ähnlich sind?
>
> Ja! (Siehe oben: Transitivität der Äquivalenzrelation
> "ähnlich")
Wenn man es so sieht, hast Du natürlich recht, wie gesagt, ich plausibilisier
mir das mal.
> Liebe Grüße
> Stefan
greetz
AT-Colt
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