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Multiplikation mit x': Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:29 Fr 19.08.2011
Autor: Harris

Aufgabe
Gegeben sei die Differentialgleichung
[mm] $x''=x-x^2+\gamma [/mm] x'$

mit einem reellen Parameter [mm] $\gamma$. [/mm]

a) Sei zunächst [mm] $\gamma=0$. [/mm] Bestimmen Sie eine Erhaltungsgröße (ein erstes Integral) der Differentialgleichung und skizzieren Sie das Phasenportrait! Welche stationären Lösungen der Differentialgleichung sind stabil?

(Hinweis: um eine Erhaltungsgröße zu finden, kann man z.B. die mit $x'$ multiplizierte Gleichung betrachten.)

b) Sei nun [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$. Wie verhält sich jetzt die Erhaltungsgröße aus Teil a) längs Lösungen der Differentialgleichung? Für welche Werte von [mm] $\gamma$ [/mm] besitzt die Differentialgleichung asymptotisch stabile stationäre Lösungen und welche sind dies?


Hey, ich hab zu dieser Aufgabe eine Frage.

Was bringt es, eine Gleichung mit $x'$ zu multiplizieren? Ich habe diesen Trick schon öfters gesehen, aber mir wirds nicht klar. Gibts hierzu irgendein Stichwort, nach dem ich mal googlen könnte?

Gerade bei der Aufgabe: Kann ich da nicht einfach sagen
$x'=y$
[mm] $y'=x-x^2$ [/mm]
und somit ist [mm] $F(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{y^2}{2}$ [/mm] ein erstes Integral?

Wie bekomme ich daraus das Phasenportrait? $F$ ist ja auf den Lösungen der DGL konstant. Setze ich da einfach $F(x,y)=c$, löse nach $y$ auf und zeiche die Funktion?

Was hilft mir das erste Integral bei der Stabilitätsuntersuchung? Diskutiere ich dafür einfach die Funktion $F(x,y)$ durch und schaue nach Extrempunkten? Einfach dann die Jacobi-Matrix von $F(x,y)$ bestimmen und die beiden stationären Punkte (Nullstellen des Gradienten) [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] dort einsetzen und die Eigenwerte betrachten?

Zur b): Muss man hier den Gradienten der Funktion $F(x,y)$ bestimmen und $x'=y$ und [mm] $y'=x-x^2+\gamma [/mm] y$ setzen?

Fragen über fragen...
Hoffe, jemand hat Ahnung :)

Danke und Gruß, Harris

        
Bezug
Multiplikation mit x': Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Fr 19.08.2011
Autor: MathePower

Hallo Harris,

> Gegeben sei die Differentialgleichung
>  [mm]x''=x-x^2+\gamma x'[/mm]
>  
> mit einem reellen Parameter [mm]\gamma[/mm].
>  
> a) Sei zunächst [mm]\gamma=0[/mm]. Bestimmen Sie eine
> Erhaltungsgröße (ein erstes Integral) der
> Differentialgleichung und skizzieren Sie das
> Phasenportrait! Welche stationären Lösungen der
> Differentialgleichung sind stabil?
>  
> (Hinweis: um eine Erhaltungsgröße zu finden, kann man
> z.B. die mit [mm]x'[/mm] multiplizierte Gleichung betrachten.)
>  
> b) Sei nun [mm]\gamma\neq 0[/mm]. Wie verhält sich jetzt die
> Erhaltungsgröße aus Teil a) längs Lösungen der
> Differentialgleichung? Für welche Werte von [mm]\gamma[/mm] besitzt
> die Differentialgleichung asymptotisch stabile stationäre
> Lösungen und welche sind dies?
>  
> Hey, ich hab zu dieser Aufgabe eine Frage.
>  
> Was bringt es, eine Gleichung mit [mm]x'[/mm] zu multiplizieren? Ich


Durch diese Multiplikation kannst Du dann eine geeignete Substitution
wählen um diese DGL auf eine Bernoullische DGL zurückzuführen.


> habe diesen Trick schon öfters gesehen, aber mir wirds
> nicht klar. Gibts hierzu irgendein Stichwort, nach dem ich
> mal googlen könnte?


>  
> Gerade bei der Aufgabe: Kann ich da nicht einfach sagen
>  [mm]x'=y[/mm]
>  [mm]y'=x-x^2[/mm]
>  und somit ist
> [mm]F(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{y^2}{2}[/mm] ein erstes
> Integral?
>  
> Wie bekomme ich daraus das Phasenportrait? [mm]F[/mm] ist ja auf den
> Lösungen der DGL konstant. Setze ich da einfach [mm]F(x,y)=c[/mm],
> löse nach [mm]y[/mm] auf und zeiche die Funktion?
>  
> Was hilft mir das erste Integral bei der
> Stabilitätsuntersuchung? Diskutiere ich dafür einfach die
> Funktion [mm]F(x,y)[/mm] durch und schaue nach Extrempunkten?
> Einfach dann die Jacobi-Matrix von [mm]F(x,y)[/mm] bestimmen und die
> beiden stationären Punkte (Nullstellen des Gradienten)
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] dort einsetzen und die
> Eigenwerte betrachten?
>  
> Zur b): Muss man hier den Gradienten der Funktion [mm]F(x,y)[/mm]
> bestimmen und [mm]x'=y[/mm] und [mm]y'=x-x^2+\gamma y[/mm] setzen?
>  
> Fragen über fragen...
>  Hoffe, jemand hat Ahnung :)
>  
> Danke und Gruß, Harris


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Multiplikation mit x': Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Fr 19.08.2011
Autor: Harris

Hi!

Danke für deine Antwort, aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich auf eine Bernoulli-DGL kommen soll...

Ich habe es jetzt weiter probiert und bin zu dem Ansatz gekommen:

[mm] $x''x'=x'(x-x^2)\Rightarrow\frac{1}{2}\int{x''x'}=\int{x'(x-x^2)}\Rightarrow\frac{1}{2}\int{((x')^2)'}=\int (x-x^2)$ [/mm] (Substitution im rechten Integral)
[mm] $\Rightarrow\frac{1}{2}(x')^2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+c$ [/mm]

was ja das gleiche erste Integral ist (für $x'=:y$), wie in meinem ersten Post.

Stimmt das? Ist das der ganze "Trick"?
Gruß, Harris

Bezug
                        
Bezug
Multiplikation mit x': Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Fr 19.08.2011
Autor: MathePower

Hallo Harris,

> Hi!
>  
> Danke für deine Antwort, aber ich habe überhaupt keine
> Ahnung, wie ich auf eine Bernoulli-DGL kommen soll...
>  
> Ich habe es jetzt weiter probiert und bin zu dem Ansatz
> gekommen:
>  
> [mm]x''x'=x'(x-x^2)\Rightarrow\frac{1}{2}\int{x''x'}=\int{x'(x-x^2)}\Rightarrow\frac{1}{2}\int{((x')^2)'}=\int (x-x^2)[/mm]
> (Substitution im rechten Integral)
>  
> [mm]\Rightarrow\frac{1}{2}(x')^2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+c[/mm]
>  
> was ja das gleiche erste Integral ist (für [mm]x'=:y[/mm]), wie in
> meinem ersten Post.
>  
> Stimmt das? Ist das der ganze "Trick"?


Nein, das stimmt leider nicht.

Die Ausgangsgleichung

[mm]x''=x-x^{2}+\gamma*x'[/mm]

wird mit [mm]x'[/mm] multipliziert:

[mm]x''*\blue{x'}=x*\blue{x'}-x^{2}*\blue{x'}+\gamma*x'*\blue{x'}[/mm]

Die Substitution [mm]z=x'*x'[/mm] liefert dann:

[mm]\bruch{1}{2}*z'=\left(x-x\right)*\wurzel{z}+\gamma*z[/mm]

Dies ist eine []Bernoulli-DGL.

Für [mm]\gamma=0[/mm] erhältst Du eine DGL,
die mittels []Trennung der Veränderlichen lösbar ist:

[mm]\bruch{1}{2}*z'=\left(x-x\right)*\wurzel{z}[/mm]


>  Gruß, Harris


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Multiplikation mit x': Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Fr 19.08.2011
Autor: leduart

Hallo
Der "Trick besteht darin, dass man an [mm] m/2*v^2 [/mm] =m/2*x'^2) denkt und falls Energieerhaltung gilt die änderung der kinetischen energie = der änderung der anderen energien ist. deshalb die multiplikation mit x'
deinen "Trick" mit x''=y' musst du begründen, während man
[mm] (x'^2/2)'=(x^2/2)'+x^3/)' [/mm]
direkt integrieren kann! (Striche weg +c
und mit m multipliziert, direkt den Energiesatz! und die potentiell (Federenergie ) direkt da stehen hat!
deine lösg ist aber für /gamma=0 auch richtig, mit F(x,y)=c
gruss leduart


Bezug
        
Bezug
Multiplikation mit x': Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 21.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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