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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Torina |
| Aufgabe | Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei Schichten eingeteilt: Oberschicht 10 %, Mittelschicht 70 %, Unterschicht 20 % der Bevölkerung.
Zwischen den Schichten finden Auf und Abstiegsprozesse statt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden.
a) Geben Sie die Übergangsmatrix an.
b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10 (20,30) Jahren?
c) Geben Sie eine Übergangsmatrix für die Veränderung der Schichten nach 20 Jahren an.
d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt sich trotz Auf und Abstiegsprozess keine gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung? |
Also die Abbildung konnte ich leider nicht abtippen, daher hier die Übergangsmatrix (gehört sowieso zu Teilaufgabe a):
[mm]
\begin{pmatrix}
0,87 & 0,10 & 0,01 \\
0,10 & 0,78 & 0,15 \\
0,03 & 0,12 & 0,84 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Hierbei steht rechts von oben nach unten Oberschicht, Mittelschicht, Unterschicht. Und von rechts nach links ebenfalls Oberschicht, Mittelschicht, Unterschicht.
Ich hab das so aufgebaut, dass sich die erste Zeile so liest: Zu O kommen 0,87 % von O, 0,10 % von M und 0,01 % von U.
b) Diesen Aufgabenteil verstehe ich nicht richtig.
Also ich habe die Zeilensummen ausgerechnet. Das ist in der ersten Zeile, also bei O 0,98, bei M 1,03 und bei U 0,99.
Die Schicht bei O nimmt also um 2 % ab pro 10 Jahre, oder? Bedeutet das, dass nach zwanzig Jahren die Schicht um 4% abgenommen hat? Also nicht mehr bei 10% liegt sondern nur noch bei 6%? Diese Lösung erscheint mir irgendwie nicht richtig.
c) Hier habe ich einfach die Übergangsmatrix für 10 Jahre mit 2 multipliziert. Also:
[mm]
\begin{pmatrix}
0,87 & 0,10 & 0,01 \\
0,10 & 0,78 & 0,15 \\
0,03 & 0,12 & 0,84 \\
\end{pmatrix}
* 2 =
\begin{pmatrix}
1,74 & 0,2 & 0,02 \\
0,2 & 1,56 & 0,3 \\
0,06 & 0,24 & 1,68 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
d) Das verstehe ich auch nicht richtig, da es doch eigentlich immer zu einer Veränderung der Schicht kommt, da eine Schicht mehr dazugewinnt und die andere verliert.
Viele Grüße
Torina
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Hallo Toina,
> Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> Schichten eingeteilt: Oberschicht 10 %, Mittelschicht 70 %,
> Unterschicht 20 % der Bevölkerung.
> Zwischen den Schichten finden Auf und Abstiegsprozesse
> statt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren durch
> die nebenstehende Abbildung beschrieben werden.
>
> a) Geben Sie die Übergangsmatrix an.
> b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10
> (20,30) Jahren?
> c) Geben Sie eine Übergangsmatrix für die Veränderung
> der Schichten nach 20 Jahren an.
> d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt sich
> trotz Auf und Abstiegsprozess keine gesamtgesellschaftliche
> Veränderung der Schichtung?
> Also die Abbildung konnte ich leider nicht abtippen, daher
> hier die Übergangsmatrix (gehört sowieso zu Teilaufgabe
> a):
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
0,87 & 0,10 & 0,01 \\
0,10 & 0,78 & 0,15 \\
0,03 & 0,12 & 0,84 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Hierbei steht rechts von oben nach unten Oberschicht,
> Mittelschicht, Unterschicht. Und von rechts nach links
> ebenfalls Oberschicht, Mittelschicht, Unterschicht.
> Ich hab das so aufgebaut, dass sich die erste Zeile so
> liest: Zu O kommen 0,87 % von O, 0,10 % von M und 0,01 %
> von U.
>
> b) Diesen Aufgabenteil verstehe ich nicht richtig.
> Also ich habe die Zeilensummen ausgerechnet. Das ist in
> der ersten Zeile, also bei O 0,98, bei M 1,03 und bei U
> 0,99.
Für die Schichtanteile nach 10 Jahren ist das richtig.
> Die Schicht bei O nimmt also um 2 % ab pro 10 Jahre, oder?
> Bedeutet das, dass nach zwanzig Jahren die Schicht um 4%
> abgenommen hat? Also nicht mehr bei 10% liegt sondern nur
> noch bei 6%? Diese Lösung erscheint mir irgendwie nicht
> richtig.
>
Für die Schichtanteile nach 20 Jahren musst Du zunächst die
Übergangsmatrix potenzieren, demnach das Matrizenprodukt
[mm]\begin{pmatrix} 0,87 & 0,10 & 0,01 \\ 0,10 & 0,78 & 0,15 \\ 0,03 & 0,12 & 0,84 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0,87 & 0,10 & 0,01 \\ 0,10 & 0,78 & 0,15 \\ 0,03 & 0,12 & 0,84 \\ \end{pmatrix}[/mm]
bilden und dann die Zeilensummen bilden.
Für die Schichtanteile nach 30 Jahren entsprechend.
> c) Hier habe ich einfach die Übergangsmatrix für 10 Jahre
> mit 2 multipliziert. Also:
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
0,87 & 0,10 & 0,01 \\
0,10 & 0,78 & 0,15 \\
0,03 & 0,12 & 0,84 \\
\end{pmatrix}
* 2 =
\begin{pmatrix}
1,74 & 0,2 & 0,02 \\
0,2 & 1,56 & 0,3 \\
0,06 & 0,24 & 1,68 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Hier musst Du analog zu b) die Übergangsmatrix potenzieren.
> d) Das verstehe ich auch nicht richtig, da es doch
> eigentlich immer zu einer Veränderung der Schicht kommt,
> da eine Schicht mehr dazugewinnt und die andere verliert.
>
Die Ergebnismatrix nach k*10 Jahren muss dieselbe sein,
wie die nach (k+1) *10 Jahren. Sei D die Übergangsmatrix
und v ein Vektor, dann muss gelten:
[mm]D^{k}v=D^{k+1}v[/mm]
bzw. [mm]D^{k+1}v-D^{k}v=0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\gdw D^{k}\left(D-E\right)v=0[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{3}[/mm]
und 0 der Nullvektor in [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
d.h. D muss einen Eigenwert 1 haben.
Ermittle dazu einen Eigenvektor v.
Dann muss Du noch v normieren.
> Viele Grüße
> Torina
Gruss
MathePower
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