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Multiplikationssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mo 23.02.2004
Autor: curie

Hallo!
Diesmal eine Frage zum Multiplikationssatz.
Ich will beweisen, dass gilt:

n:= Schnittmengenzeichen
A,B,C,...,N := Ereignisse eines Ergebnisraumes

P(AnBn...nN)= P(A)*Pa(B)*Panb(C)*...*Pan...n-1(N)

wie mache ich das denn? Im Buch schreiben sie nur, dass mehrfach der "einfache" Multiplikatinssatz mit zwei Ereignissen benutzt werden muss, der sich aus der Definition der bedingten wahrscheinlichkeit von A unter Bedingung B ergibt.

        
Bezug
Multiplikationssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Mo 23.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Curie!

Erst einmal würde mich natürlich interessieren, ob sich deine letzte Frage jetzt erledigt hat und du alles verstanden hast. (?)

So, jetzt zu dem neuen Problem.

Wir wollen also zeigen, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm], [mm]n \ge 2[/mm], die folgende Aussage gilt:

[mm]\red{P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot \ldots \cdot P_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}}(A_n)}[/mm]

un wollen diese Behauptung mit vollständiger Induktion beweisen. (Frage: Ist dir dieses Beweisprinzip bekannt?)


Beweis:

Induktionsanfang ([mm]n=2[/mm])

Zu zeigen ist:

[mm]P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2)[/mm].

Dies ist aber gerade die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Es ist also nichts zu zeigen.


Induktionsvoraussetzung:

Wir nehmen an, dass wir für [mm]n-1[/mm] die Behauptung bereits gezeigt haben, d.h. wir nehmen die folgende Gleichheit an:

[mm]P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdots P_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-2}}(A_{n-1})[/mm]

Induktionsschritt ([mm](n-1) \to n [/mm])

Es gilt gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

[mm]P(\underbrace{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}}_{\stackrel{\mbox{\scriptsize def.}}{=} A} \cap \underbrace{ A_{n}}_{\stackrel{\mbox{\scriptsize def.}}{=} B})[/mm]

(substituieren)

[mm]= P(A \cap B)[/mm]

(nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit)

[mm]= P(A) \cdot P_A(B)[/mm]

(rücksubstituieren)

[mm]= P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}) \cdot P_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}}(A_n)[/mm]

(nach Induktionsvoraussetzung)

[mm]= P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdots P_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-2}}(A_{n-1}) \cdot P_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}}(A_n),[/mm]

und das war zu zeigen.

Verstanden? :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Multiplikationssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Di 24.02.2004
Autor: curie

ein mathematisches Hal^2o,

also, ich bin nicht auf die idee gekommen die Behauptung mit der vollständigen Induktion zu beweisen- aber ich kenne das Verfahren.
deswegen habe ich mir deins nur kurz angeschaut und habe es dann nochmal nach meinen schema gerechnet.
Ich mache dabei den Schluss auf k+1. Im letzten Schritt steht dann bei mir:

P(A1nA2n...nAkNA(k+1)) = P(A1)*...*Pa1na2n...nak(Ak+1).

Bei anderen Beweisführungen konnte ich das immer so umformen, dass in der letzten Zeile die Behauptung mit k als letztes Glied stand. Wie bei dir, da steht auch die Behauptung zum Schluss. Nur damit komme ich mit k+1 nicht zurecht. Weißt du wo mein Fehler liegt, also wie ich es so umformen kann, dass die Behauptung, die ja für k=1 und k=2 richtig ist, herauskommt?

Übrigens bin ich zuerst ganz anders an die sache herangegangen. Ich habe es mit nur drei Elementen hergeleitet und später dann so:
P(CnD) = P(C)*Pc(D)
C:= A1nA2n...Ak-1
D:= Ak
Dann C und D oben eingesetzt. Dann habe ich für P(C) wieder ein Term der Art P(XnY) bekommen. Kann man dann so argumentieren, dass wenn man dieses substituieren lang genug anwendet, man schließlich auf die Behauptung stößt? Meiner Lehrerin hat es gereicht, aber so schön mathematisch ist es ja nicht.

viele Grüße,
curie

Bezug
                        
Bezug
Multiplikationssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:49 Di 24.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Curie,

>  Ich mache dabei den Schluss auf k+1. Im letzten Schritt
> steht dann bei mir:
>  
> P(A1nA2n...nAkNA(k+1)) = P(A1)*...*Pa1na2n...nak(Ak+1).
>  
> Bei anderen Beweisführungen konnte ich das immer so
> umformen, dass in der letzten Zeile die Behauptung mit k
> als letztes Glied stand. Wie bei dir, da steht auch die
> Behauptung zum Schluss. Nur damit komme ich mit k+1 nicht
> zurecht. Weißt du wo mein Fehler liegt, also wie ich es so
> umformen kann, dass die Behauptung, die ja für k=1 und k=2
> richtig ist, herauskommt?

Tut mir leid, ich verstehe das leider überhaupt nicht. Da steht doch die Behauptung schon. Wenn das der letzte Schritt war, dann bist du doch fertig. (?)

Hast du denn meine Induktion nachvollziehen können?  

> Übrigens bin ich zuerst ganz anders an die sache
> herangegangen. Ich habe es mit nur drei Elementen
> hergeleitet und später dann so:
>  P(CnD) = P(C)*Pc(D)
>  C:= A1nA2n...Ak-1
>  D:= Ak

So habe ich ja auch angesetzt! [ok]

>  Dann C und D oben eingesetzt.

Genau! Und dann die Induktionsvoraussetzung anwenden!

> Dann habe ich für P(C)
> wieder ein Term der Art P(XnY) bekommen. Kann man dann so
> argumentieren, dass wenn man dieses substituieren lang
> genug anwendet, man schließlich auf die Behauptung stößt?

Ja, das ist sozusagen die Idee, genau. Mathematischer formalisiert man das mit der vollständigen Induktion. Lies dir bitte meinen Beitrag noch einmal durch. Ob da nun  [mm]n[/mm] oder [mm]k[/mm] steht, sollte ja egal sein. Ansonsten mache ich ja genau das, was du vorschlägst. Nur formalisere ich das halt mir der vollständigen Induktion.

> Meiner Lehrerin hat es gereicht, aber so schön mathematisch
> ist es ja nicht.

Stimmt, aber ich finde es nett von deiner Lehrerin, dass sie das akzeptiert. Schließlich ist das die Grundidee.  Wenn aber weitergehende mathematische Ambitionen hat, dann sollte man auch versuchen die Induktion nachzuvollziehen.

Vorschlag von mir: Lies dir bitte meinen ersten Beitrag noch einmal durch und sage mir, wo du Verständnisprobleme hast.

Liebe Grüße
Stefan


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