Multiplikationstabelle Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] p\in\IN. [/mm] Für [mm] n\in\IZ [/mm] defi nieren wir [n] als die Äquivalenzklasse von n: [n] := [mm] \{m\in\IZ | p teilt m - n \}. [/mm] Auf der Menge [mm] \IZ_{p} [/mm] aller solchen Äquivalenzklassen defi nieren wir eine Addition und eine Multiplikation durch [m] + [n] := [m + n] sowie
[m]*[n] = [mn]. Damit wird [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Ring. Dies ist im Weiteren nicht zu zeigen.
Zu bestimmen:
1) Jeweils in [mm] \IZ_{3} [/mm] und [mm] \IZ_{4} [/mm] alle Lösungen der Gleichung [2]*x = [2] sowie der Gleichung [mm] [2]*x^2 [/mm] = [2]*x.
2) Ist [mm] \IZ_{4} [/mm] ein Körper? |
Hi!
Ich versteh mal wieder was nicht ganz.
Ich habe bereits anhand einer Multiplikationstabelle die Äquivalenzklasse [2] bestimmt, aber jetzt bin ich mir nicht sicher, was ich da zeigen soll. Was soll dieses x bzw. [mm] x^2 [/mm] bedeuten. Ist das einfach die Spalte mit der [2] multipliziert wieder [2] ergibt? Oder doch was ganz anderes? und wie soll das dann bei [mm] [2]*x^2 [/mm] = [2]*x aussehen?
Desweiteren soll ich zeigen, ob [mm] \IZ_{4} [/mm] ein Körper ist. Wie soll ich da verfahren? Wie kann ich das zeigen?
Ich wäre sehr dankbar für ein paar Hinweise bezüglich meiner Fragen?
Ich bedanke mich schonmal im Voraus für die Mühen!
Viele Grüße, Petrit!
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Hallo,
das x ist eine Unbekannte, was sonst? 
Mit dem einzigen Unterschied natürlich, das sie nur Werte aus der hier zugrundeliegenden Struktur annimmt. x steht also jeweils für die Äquivalenzklassen, welche die Gleichung erfüllen. Die Schwierigkeit bei der Lösung der Gleichung ist ja eben die, dass du bis jetzt nur einen Ring hast und damit keine Division.
Damit sollte auch klar sein, was im Fall von [mm] \IZ_4 [/mm] noch zu prüfen ist: besitzt dort die Multiplikation ein Inverses?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Petrit |
[mm] \IZ_{3}: [/mm] [2]*x=[2] habe ich [2]*[1]=[2]
[mm] [2]*x^2=[2]*x [/mm] habe ich [mm] [2]*[1]^2=[2]*[1]
[/mm]
[mm] \IZ_{4}: [/mm] [2]*x=[2] habe ich [2]*[1]=[2], [2]*[3]=2*[3]
[mm] [2]*x^2=[2]*x [/mm] habe ich [mm] [2]*[1]^2=[2]*[1], [2]*[3]^2=[2]*[3]
[/mm]
Habe ich das so richtig verstanden?
[mm] \IZ_{4} [/mm] ist kein Körper, da z.B. das inverse Element von 3 = [mm] 3^{-1} [/mm] = 1/3 wäre, da das allerdings die ganzen Zahlen sind, kann dies nicht stimmen. Ist das soweit korrekt, oder muss ich das anders zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Sa 30.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist nun x in den 2 mal 2 Fällen-
wenn du die Gleichung ohne Aquivalenzklassen löst schreibst du doch auch nicht hin
2x= 2 2*1=2*1
Du kannst mit Inversen nicht so rechnen. Du sagst du hast die Multiplikationstabelle,
darin steht in [mm] Z_3: [/mm] 2*2=1 also ist 2 multipl. Inverses zu 2
in [mm] Z_4 [/mm] gilt 3*3=1 also ist 3 invers zu 3, aber such ein Inverses zu 2, Aber 1/2 ist einfach kein Inverses zu 2 sowenig wie 1/3 Inverses zu 3 ist, denn das gilt nur in Q
Inverse findest du in deiner Tabelle, wenn es sie gibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Okay, aber soll ich nicht zeigen, dass [2]*x= [2] rauskommt und nicht [1] oder versteh ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Sa 30.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo Petrit
Das kannst du zwar schreiben, das ist die Probe also x=[1] denn ...
und im anderen fall [mm] x_1=[1] [/mm] und [mm] x_2=[3] [/mm] denn ....
übrigens: wir sind kein chat room. man begrüßt sich usw. manche bedanken sich sogar für Hilfe.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Entschuldigung, war nicht so gemeint. Ich bin sehr dankbar für eure Hilfe. Bin aber im Moment leider ein bisschen im Stress wegen dem Studium, aber in Zukunft werde ich meinen Umgangston wieder etwas freundlicher gestalten. Also nochmals vielen Dank für eure freiwillige Hilfe.
Viele Grüße, Petrit!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:03 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Nochmals danke für deine Hilfe!
Habe jetzt alles gelöst, außer, ob [mm] \IZ_{4} [/mm] ein Körper ist. Wie könnte ich das zeigen? Ich müsste ja zeigen, dass es ein inverses Element gibt und dass es sich um einen kommutativen Ring handelt. Wie könnte ich das hier zeigen? Könnte mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen, ich stehe gerade völlig auf'm Schaluch! Wäre echt super!
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Tschuldigung!
Die Frage hat sich erledigt, bin selbst drauf gekommen. Hab die Frage wohl zu früh gestellt. Trotzdem danke an alle, die sich bereits mit dieser Frage beschäftigt hatten.
Viele Grüße, Petrit!
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