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| Aufgabe | Sei M = R×R eine Menge. Für jede zwei Elemente [mm] (x_{1}, y_{1}) [/mm] und
[mm] (x_{2}, y_{2}) [/mm] aus dieser Menge wird die Multiplikation folgendermassen definiert:
[mm] (x_{1}, y_{1}) [/mm] · [mm] (x_{2}, y_{2}) [/mm] := [mm] (x_{1}x_{2} [/mm] − [mm] y_{1}y_{2}, x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] y_{1}x_{2}).
[/mm]
Das Einselement ist (1, 0) . Wie sieht das Inverse (x, [mm] y)^{-1} [/mm] eines
Elements (x, y) [mm] \not= [/mm] (0, 0) aus? |
Halo!
Ich habe mich mit der Aufgabe auseinander gesetzt aber komme irgendwie nicht weiter. Würde mich sehr über jede Hilfe freuen =)
Bisher bin ich folgendermaßen an die Aufgabe ran gegangen:
Das inverse Element der Multiplikation wird zunächst wie folgt definiert:
[mm] (x,y)^{-1} [/mm] := (x´,y´)
Unter der Verwendung der Definition kommt man dann auf:
(x,y)*(x',y') = (xx'- yy', xy'+yx') = (1,0)
[mm] \Rightarrow [/mm] xx´- yy´=1 [mm] \wedge [/mm] xy´+ yx´=0
Dann forme ich um:
xx´-yy´=1 [mm] \gdw [/mm] xx´=1+yy´ [mm] \gdw [/mm] x´= [mm] x^{-1}*(1+yy')
[/mm]
xy'+yx'=0 [mm] \gdw [/mm] xy'= - yx' [mm] \gdw [/mm] y'= [mm] x^{-1}*(-yx')
[/mm]
Jetzt setze ich x´ erstmal in xy´+yx´=0 ein :
[mm] \Rightarrow x*y'+y*(x^{-1}*(1+yy'))=0
[/mm]
Und forme nach y´um:
[mm] \Rightarrow xy'+y*(x^{-1}+y*y'*x^{-1})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow xy'+yx^{-1}+y*y*y'*x^{-1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow xy'+y*y*y'*x^{-1}=-yx^{-1}
[/mm]
Hier dachte ich mir die ganze gleichung mal x zu nehmen:
[mm] \Rightarrow [/mm] x*x*y'+y*y*y'= -y
[mm] \Rightarrow y'(x^{2}+y^{2})= [/mm] -y
[mm] \Rightarrow [/mm] y'= [mm] -y*(x^{2}+y^{2})^{-1}
[/mm]
Dies hab ich dann auch für x´durchgeführt und habe folgendes am ende raus:
x´= [mm] x^{-1} [/mm] - [mm] y^2*(x^{3}+y^{2}*x)^{-1}
[/mm]
Das ist dann alles was ich hab. (finde das "hoch minus eins" komisch.)
Weiss leider nicht wie das weiter geht und ob ich einen richtigen Anfang gemacht hab. Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank im vorraus
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mo 25.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei M = R×R eine Menge. Für jede zwei Elemente [mm](x_{1}, y_{1})[/mm]
> und
> [mm](x_{2}, y_{2})[/mm] aus dieser Menge wird die Multiplikation
> folgendermassen definiert:
>
> [mm](x_{1}, y_{1})*(x_{2}, y_{2}) := (x_{1}x_{2} -y_{1}y_{2}, x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).[/mm]
>
> Das Einselement ist (1, 0) . Wie sieht das Inverse (x,
> [mm]y)^{-1}[/mm] eines
> Elements (x, y) [mm]\not=[/mm] (0, 0) aus?
> Halo!
>
> Ich habe mich mit der Aufgabe auseinander gesetzt aber
> komme irgendwie nicht weiter. Würde mich sehr über jede
> Hilfe freuen =)
> Bisher bin ich folgendermaßen an die Aufgabe ran
> gegangen:
>
> Das inverse Element der Multiplikation wird zunächst wie
> folgt definiert:
>
> [mm](x,y)^{-1} := (x',y')[/mm]
>
> Unter der Verwendung der Definition kommt man dann auf:
>
> [mm](x,y)*(x',y') = (xx'- yy', xy'+yx') = (1,0)[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow xx'- yy'=1 \wedge xy'+ yx'=0[/mm]
>
> Dann forme ich um:
>
> [mm]xx'-yy'=1 \gdw xx'=1+yy' \gdw x'= x^{-1}*(1+yy')[/mm]
>
> [mm]xy'+yx'=0 \gdw xy'= - yx' \gdw] y'= x^{-1}*(-yx')[/mm]
>
>
> Jetzt setze ich $x'$ erstmal in $ xy'+yx'=0$ ein :
>
> [mm]\Rightarrow x*y'+y*(x^{-1}*(1+yy'))=0[/mm]
>
> Und forme nach $y'$ um:
>
> [mm]\Rightarrow xy'+y*(x^{-1}+y*y'*x^{-1})=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow xy'+yx^{-1}+y*y*y'*x^{-1}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow xy'+y*y*y'*x^{-1}=-yx^{-1}[/mm]
>
> Hier dachte ich mir die ganze gleichung mal x zu nehmen:
>
> [mm]\Rightarrow x*x*y'+y*y*y'= -y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'(x^{2}+y^{2})= -y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'= -y*(x^{2}+y^{2})^{-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dies hab ich dann auch für $x'$ durchgeführt und habe
> folgendes am ende raus:
>
> [mm]x'= x^{-1} - y^2*(x^{3}+y^{2}*x)^{-1}[/mm]
>
> Das ist dann alles was ich hab. (finde das "hoch minus
> eins" komisch.)
Klammere [mm] $x^{-1}$ [/mm] aus und bringe es auf den Hauptnenner:
[mm] x^{-1} - y^2*(x^{3}+y^{2}*x)^{-1} = x^{-1}*\left( 1- \bruch{y^2}{x^{2}+y^{2}}\right) = x^{-1}*\bruch{x^2+y^2-y^2}{x^{2}+y^{2}} = x^{-1}*\bruch{x^2}{x^{2}+y^{2}} = \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} [/mm] .
Es geht etwas einfacher, wenn du dein oben ausgerechnetes $y'$ in $xy'+yx'=0 $ einsetzt:
[mm] xy'+yx'=0 \gdw x' = - y^{-1} xy' = -y^{-1} x (-y) (x^{2}+y^{2})^{-1} = x* (x^{2}+y^{2})^{-1} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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