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Forum "Mathematica" - NDSolve - Wie Präzise ist das?
NDSolve - Wie Präzise ist das? < Mathematica < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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NDSolve - Wie Präzise ist das?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Do 03.11.2011
Autor: ThomasTT

Aufgabe
g[x_] = y[x] /.
   First[Simplify[
     NDSolve[{y'''[x] + y''[x]*y[x] == 0, y[0] == 0, y'[0] == 0,
       y''[0] == 1}, y, {x, 0, 10}, AccuracyGoal -> 20,
      PrecisionGoal -> 20, WorkingPrecision -> 30]]];
PlotAnalytical = Plot[g[x], {x, 0, 10}]

Bei dem obigen Ausdruck wird per NDSolve eine DGL "gelöst". Nun frage ich mich aber wie akurat diese Lösung ist (im Allgemeinen), wenn man außerdem die Parameter AccuracyGoal, PrecisionGoal und/oder WorkingPrecision nutzt. Wie genau spielen die zusammen? Das ist mir irgendwie nicht klar.

Gruß

Thomas

        
Bezug
NDSolve - Wie Präzise ist das?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 03.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi

1:  g[x_] = y[x] /. 
2: First[Simplify[
3: NDSolve[{y'''[x] + y''[x]*y[x] == 0, y[0] == 0, y'[0] == 0, 
4: y''[0] == 1}, y, {x, 0, 10}, AccuracyGoal -> 20, 
5: PrecisionGoal -> 20, WorkingPrecision -> 30]]];
6: PlotAnalytical = Plot[g[x], {x, 0, 10}]  

>  Bei dem obigen Ausdruck wird per NDSolve eine DGL
> "gelöst". Nun frage ich mich aber wie akurat diese Lösung
> ist (im Allgemeinen), wenn man außerdem die Parameter
> AccuracyGoal, PrecisionGoal und/oder WorkingPrecision
> nutzt. Wie genau spielen die zusammen? Das ist mir
> irgendwie nicht klar.
>  
> Gruß
>  
> Thomas


Hallo Thomas,

dazu müsste man sich mittels Hilfe-Fenster und/oder
Mathematica-Wälzer etwas in die Funktionsweise der
Befehle AccuracyGoal, PrecisionGoal, WorkingPrecision
vertiefen. Eine erste kleine Suche führt auf die Aussage:

With PrecisionGoal->p and AccuracyGoal->a, Mathematica
attempts to make the numerical error in a result of size x
be less than

      [mm] 10^{-a}+|x|*10^{-p} [/mm]

Mit deinen obigen Werten a=20 und p=20 und dem
größten in deiner Grafik auftretenden y-Wert [mm] \approx15 [/mm]
bedeutet dies, dass der (absolute) Fehler dieses Wertes
höchstens

      [mm] $10^{-20}+|15|*10^{-20}\ [/mm] =\ [mm] 1.6*10^{-19}$ [/mm]

sein sollte. Für alle praktischen Zwecke würde also
wohl auch eine wesentlich bescheidenere Genauigkeits-
forderung wie z.B. p=a=6 ebenfalls ausreichen ...

Zum Testen würde ich einmal eine Serie von Werten
wie z.B.  $\ [mm] a=p\in\{1,2,3, .... , 20\}$ [/mm] an einem Beispiel
(vielleicht mit einer nicht ganz so pflegeleichten DGL)
ausprobieren und die Ergebnisse vergleichen.

LG    Al-Chw.

      



Bezug
                
Bezug
NDSolve - Wie Präzise ist das?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Do 03.11.2011
Autor: ThomasTT

Super, vielen Dank.

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