NV, Poissonverteilung & L(p) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Es sei X normalverteilt mit Parametern [mm] \mu=2 [/mm] und [mm] \partial^{2}=4
[/mm]
Berechnen Sie das 0,4-Quantil von X.
2. Die Anzahl der Großbrände pro Jahr in einer Stadt wird durch die Zufallsvariable k erfasse, wobei bekannt ist, dass im Durchschnitt 2 Großbrände pro Jahr ausbrechen. Berechnen Sie:
a) E(k)
b) [mm] \partial^{2}(k)
[/mm]
c) P(k [mm] \ge [/mm] 3)
3. Eine Kollegin benötigt bei einem Versuch 3 Würfe mit einer Münze bis das erste Mal „Zahl“ fällt.
a) [mm] L(p)=p(1-p)^k^-^1
[/mm]
L(0,1)= 0,081
L(0,25)= 0,140625
L(0,33)= 0,148137
L(0,45)= 0,136125
L(0,6)= 0,096
Stellen Sie die Abhängigkeit zwischen der Likelihoodfunktion (auf der Y-Achse) und den verschiedenen p-Werten [ L(p) : z.b. p= 0,33 → L(0,33)] (X-Achse) in einem Diagramm dar, und ermitteln Sie daraus den Wert p, der die Likelihoodfunktion maximiert. |
Hallo lieber Matheraum,
ich bin momentan wieder an Statistik und habe ein paar neue Fragen und würde mich freuen wenn ihr mir, wie immer, etwas helfen könnt :)
Es geht um 3 Aufgaben wobei ich gerne Wissen würde ob meine Gedanken richtig waren und ob ich es daher auch richtig gerechnet habe.
Zu 1.
Das 0,4-Quantil heißt doch: 40% aller Messwerte sind bis zu dem Punkt X beschrieben
Dann würde ich um X zu berechnen die Formel der Z-Approximation nutzen
Z= [mm] \bruch{(X-\mu)}{\partial}
[/mm]
Gesucht ist mein X und gegeben habe ich das 0,4 Quantil= 40% der Messwerte
Jetzt habe ich in der Z-Tabelle [Tabelle Standartnormalverteilung für einseitige Fragestellung - P(Z [mm] \ge [/mm] z)] den Wert 0,4 gesucht und den Z-Wert abgelesen, da die Fläche [mm] \alpha [/mm] die bis zu einem Z Wert ja die Wahrscheinlichkeit dieser darstellt. Hab mir jetzt gedacht, dass das 0,4 Quantil damit die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass 40% der Werte eintreffen.
Z~0,255 (kein eindeutiger Wert in meiner Tabelle)
Das ganze dann in die Formel gesetzt:
0,255= [mm] \bruch{(X-2)}{2} [/mm] nach X umgestellt
X=2,51
Frage: Hab ich das richtig gerechnet^^? Ist der Gedanke mit Quantil und Fläche in der Z-Tabelle richtig? Es gibt ja noch die zweite Z-Tabelle [P(0 [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] z)] die mich jetzt ein bisschen verwirrt hat...
Zu 2.
Ich habe eine ZV= k und einen Durchschnittswert der Brände = 2 mein n ist mir nicht bekannt bzw. 1 Jahr. 1 Jahr kann ich in unendlichviele Zeitabschnitte einteilen d.h. mein n wird sehr groß sein.
Da das n groß und die Wahrscheinlichkeit eines Brandes eher gering ist, gehe ich von einer Poissonverteilung aus.
P(X=k) = [mm] \bruch{(\lambda^k)*(e^-^k)}{k!}
[/mm]
[mm] \lambda=2
[/mm]
a) [mm] E(k)=\lambda
[/mm]
b) [mm] \partial^{2}(k)=\lambda
[/mm]
c) P(k [mm] \ge [/mm] 3)= 1 - P(k=0) - P(k=1) - P(k=2)
P(k=0) = 0,13533
P(k=1) = 0,27067
P(k=2) = 0,27067
P(k [mm] \ge [/mm] 3)= 0,32333
Frage: Richtig? Vor allem fand ich a) und b) komisch weil die zusammen mehr Punkte geben als c) und ich daher bisschen zweifel dass ich alles richtig gemacht habe...
Zu 3.
Ich habe die Aufgabe gekürzt, damit meine Frage passt.
Wenn ich das Diagramm zeichne oder die Werte von L(p) vergleiche sehe ich sofort das sich das Maximum irgendwo bei p=0,33 befinden wird.
Rechnerisch geht das ja über den analytischen Weg genauer.
Jetzt ist mir nur aufgefallen, das ich den analytischen Weg in meinen Lösungen nur für die Likelihoodfunktion einer Binomialverteilung.
L(p)= [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k (1-p)^n-k [/mm]
durch partielles Differenzieren und Nullsetzten (Rechenweg ist bei mir in der Formelsammlung)
p= [mm] \bruch{k}{n} [/mm] wobei p= Schätzer
Habe das bei der Likelihoodfunktion der Geometrischen-Verteilung versucht, habe es aber nicht geschafft.
Habe dann nochmal umgedacht und gesagt n= Anzahl der Versuche und k=Erfolge --->n=3 und k=1
Und komme so auf p= 1/3 -> 0,3333
Was meine Annahme bestätigen würde.
Frage: Darf ich das in diesem Fall? Mir fällt nämlich kein anderer Weg ein, wie ich analytisch rechnen könnte.
Hoffe es ist alles verständlich
Vielen Dank für eure Zeit :)
lg
Volvos977
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ah okay habs nicht gesehn [mm] \sigma [/mm] natürlich :)
Zu 1.
mhm bzgl z ..war wohl ein Denkfehler.
D.h. wenn bei der SV (0;1) (Tabelle) mein [mm] \mu=0 [/mm] muss ich mir das ganze nur links von [mm] \mu [/mm] vorstellen. Dann ist es logischer weise negativ und auch wenn ich halt Z=0,255 in der Tabelle ablese ist Z= -0,255 korrekt weil es links von [mm] \mu [/mm] liegt und es sich um das 0,4 Quantil handelt - ansonsten wäre es das 0,6-Quantil oder?
Und mit Z= -0,255 ----> komme ich bei X dann auf X=1,49
Zu 2.
Ok Super :) Dann waren a) und b) doch so leicht
Zu 3.
Also ich hab nochmal schriftlich mit deinem Tipp gearbeitet und es kommt
erstmal eine riesen lange Gleichung raus und dann am Ende
p=1/k mit p= Schätzer
was auch p=1/3 ergibt und eigentlich stimmen müsste.
Danke
LG Volvos977
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Fr 18.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Alles richtig.
vg Luis
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $\red{-}0.255$
[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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