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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 26.05.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Seien $X,Y$ und $Z$ unabhängige Zufallsvariablen mit $X,Y [mm] \sim \mathcal [/mm] N(0,1)$. $Z$ nimmt nur die Werte [mm] $\pm [/mm] 1$ mit jeweils Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] an. Sei [mm] $V_1 [/mm] := [mm] Z\vert X\vert$ [/mm] und [mm] $V_2 [/mm] := [mm] Z\vert Y\vert$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $V_1$ [/mm] und [mm] $V_2$ [/mm] wieder standardnormalverteilt sind, aber [mm] $(V_1,V_2)$ [/mm] nicht zwei-dimensional standardnormalverteilt ist.
Berechnen Sie die Kovarianz von $X$ und [mm] $V_1$ [/mm] bzw. [mm] $V_1$ [/mm] und [mm] $V_2$ [/mm] |
Hallo!
Mein Problem ist wohl der Ansatz.
Ich kenne also die Dichtefunktionen von $X,Y$, mit jeweils
[mm] $p_X(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{x^2/2}$ [/mm] bzw. [mm] $p_Y(y) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{y^2/2}$
[/mm]
und weiß, dass [mm] $\mathbb P(Z=1)=\mathbb [/mm] P(Z=-1) = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass z.B. [mm] $V_1$ [/mm] wieder [mm] $\sim \mathcal [/mm] N(0,1)$ verteilt ist, müsste ja als Dichte wieder eine Standardnormalverteilung entstehen.
Wie berechne ich aber zu $Z$ die Dichte?
Ich denke, ich muss einen "anderen Weg" gehen, nur leider sehe ich den Ansatz nicht.
(In der vorherigen Aufgabe habe ich einige Eigenschaften der charakteristischen Funktion und Zusammenhänge zur Summe von Normalverteilungen wieder eine Normalverteilung bewiesen, nur sehe ich hier dafür auch keine Verwendung...)
Ich bin für jeden Tipp dankbar :)
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> Seien [mm]X,Y[/mm] und [mm]Z[/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit [mm]X,Y \sim \mathcal N(0,1)[/mm].
> [mm]Z[/mm] nimmt nur die Werte [mm]\pm 1[/mm] mit jeweils Wahrscheinlichkeit
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] an. Sei [mm]V_1 := Z\vert X\vert[/mm] und [mm]V_2 := Z\vert Y\vert[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm] wieder standardnormalverteilt
> sind, aber [mm](V_1,V_2)[/mm] nicht zwei-dimensional
> standardnormalverteilt ist.
>
> Berechnen Sie die Kovarianz von [mm]X[/mm] und [mm]V_1[/mm] bzw. [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm]
> Hallo!
>
> Mein Problem ist wohl der Ansatz.
>
> Ich kenne also die Dichtefunktionen von [mm]X,Y[/mm], mit jeweils
>
> [mm]p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{x^2/2}[/mm] bzw. [mm]p_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{y^2/2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du in den Exponenten die Minuszeichen unterschlagen.
> und weiß, dass [mm]\mathbb P(Z=1)=\mathbb P(Z=-1) = \frac{1}{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass z.B. [mm]V_1[/mm] wieder [mm]\sim \mathcal N(0,1)[/mm]
> verteilt ist, müsste ja als Dichte wieder eine
> Standardnormalverteilung entstehen.
>
> Wie berechne ich aber zu [mm]Z[/mm] die Dichte?
Die Dichte von Z ist an den Stellen +1 und -1 unendlich
(oder eine Dirac-Funktion) und sonst überall Null.
> Ich denke, ich muss einen "anderen Weg" gehen, nur leider
> sehe ich den Ansatz nicht.
In dem Beispiel ist es eigentlich recht einfach zu über-
blicken: durch den Übergang von X zu |X| "raubt" man
der Zufallsvariablen ihr Vorzeichen, das zu je 50% ein
Plus oder ein Minus war. Durch die nachfolgende Multi-
plikation mit Z wird wieder zufällig und auch zu je 50%
ein neues Vorzeichen hinzugefügt. Da das alles ganz
unabhängig voneinander geschieht und die ursprüngliche
Normalverteilung symmetrisch bezüglich x=0 war, ist
klar, dass für [mm] V_1 [/mm] wieder eine dazu identische Verteilung
entsteht.
Vielleicht zeigt jetzt noch jemand, wie man diese Über-
legung durch eine Rechnung ersetzen kann ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Bappi |
Schon einmal vielen Dank für deine Antwort.
> Da hast du in den Exponenten die Minuszeichen unterschlagen.
Das war natürlich keine Absicht.
> Vielleicht zeigt jetzt noch jemand, wie man diese Überlegung durch eine Rechnung ersetzen kann ...
Anschaulich habe ich mir das Ganze ähnlich vorgestellt, nur wusste ich nicht wie man es notiert. Ich weiß nicht, ob sich der Korrektor auch mit Prosa zufrieden gibt :).
Leider komme ich beim 2. Teil der Aufgabe ohne auch nicht weiter. Vielleicht hat noch jemand eine Idee.
MfG.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
berechne die Vtlgsfunktion von $Z*|X|$.
[mm] $P(Z*|X|\leq [/mm] x)$ ist nicht besonders schwer, Du mußt Dir nur vorher überlegen, was die Vtlgsfunktion/Dichte von $|X|$ ist. [mm] $(V_1,V_2)$ [/mm] kann klarerweise nicht normalverteilt sein, weil [mm] $V_1$ [/mm] und [mm] $V_2$ [/mm] nie unterschiedliches Vorzeichen haben können.
mit 2. Teil meinst Du die Kovarianzen? Einfach in die Definition [mm] $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\, [/mm] E(Y)$ einsetzen, dann wo möglich die Unabhängigkeit ausnutzen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Bappi |
Wenn ich dies berechne, komme ich aber nur auf
[mm] $\mathbb P(\vert X\vert \leq [/mm] x) = [mm] \mathbb [/mm] P(-x [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] x) = [mm] \mathbb [/mm] P(X [mm] \leq [/mm] x) - [mm] \mathbb P(X\leq [/mm] -x) = [mm] \mathbb [/mm] P(X [mm] \leq [/mm] x) - (1- [mm] \mathbb [/mm] P(X [mm] \leq [/mm] x)) = [mm] 2\mathbb [/mm] P(X [mm] \leq [/mm] x) -1$
inwiefern hilft mir das jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Was ist
[mm] $P(Z*|X|\leq [/mm] -5)$?
Was müssen da Z und |X| erfüllen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Bappi |
$Z$ muss den Wert $-1$ annehmen und [mm] $\vert X\vert$ [/mm] muss [mm] $\leq [/mm] 5$ sein
Also, wenn $c < 0$ ist $Z=-1$, sonst $Z=1$
und es gilt [mm] $\mathbb P(\vert X\vert \leq [/mm] c) = [mm] 2\mathbb P(X\leq [/mm] c)-1$,
aber sind sie deswegen schon standardnormalverteilt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
> $ Z $ muss den Wert $ -1 $ annehmen und $ [mm] \vert X\vert [/mm] $ muss $ [mm] \leq [/mm] 5 $ sein
|X| muß *größer* als 5 sein, Rechenregeln für Ungleichungen und so.
> aber sind sie deswegen schon standardnormalverteilt?
Nein, aber nicht jede Rechnung muß nach dem 2. Gleichheitszeichen schon fertig sein. Oben hast Du doch schon (fast) richtig erkannt, daß
> $ Z $ muss den Wert $ -1 $ annehmen und $ [mm] \vert X\vert [/mm] $ muss $ > 5 $ sein
also, wieso schreibst Du das nicht einfach hin?
[mm] $P(Z*|X|\leq [/mm] -5) = P(Z=-1\ [mm] \land |X|>5)=\ldots=P(X\leq [/mm] -5)$
Und hier kann man jetzt weiterrechnen. Was weißt Du denn über Z und X?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Bappi |
> also, wieso schreibst Du das nicht einfach hin?
> $ [mm] P(Z\cdot{}|X|\leq [/mm] -5) = P(Z=-1\ [mm] \land |X|>5)=\ldots=P(X\leq [/mm] -5) $
Genau im 2. Schritt der Gleichungskette liegt der Schritt auf den ich nicht kam. Damit ist die Sache natürlich klar, gleich allgemeiner:
Wir haben ja $X$ unabhängig von $Z$, damit
für $c < 0$: [mm] $\mathbb P(Z|X|\leq [/mm] c) = [mm] \mathbb [/mm] P(Z = -1, |X| > c) = [mm] \mathbb [/mm] P(Z=-1) [mm] \mathbb [/mm] P(|X| > c) = [mm] \frac{1}{2}\mathbb [/mm] P(|X| > c) = [mm] \frac{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \mathbb P(|X|\leq [/mm] c)) = [mm] \frac{1}{2}(1 [/mm] - [mm] (2\mathbb P(X\leq [/mm] c) - 1)) = [mm] \mathbb P(X\leq [/mm] c) $
die andere geht natürlich ähnlich. Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bappi,
jetzt hast Du den Dreh raus, sieht gut aus. Bei solchen Aufgaben liegt die Kunst nicht so sehr im analytischen Rechnen, sondern im Anwenden der bekannten stochastischen Bedingungen auf die gewünschte Größe. Hier kann ich aus eigener Erfahrung empfehlen, lieber mal eine Zeile mehr hinzuschreiben, um den Gedanken, der ja meist logischer Natur ist, besser darzustellen.
Viele Grüße,
Infinit
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