Nach Bogenlänge parametrisiere < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Kurve in Polarkoordinatendarstellung ist gegeben:
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \cos(\theta) [/mm] - [mm] \cos(2\theta)$
[/mm]
Die Frage ist, ob diese Kurve nach Bogenlänge parametrisierbar ist. Nun heisst es ja, dass jede reguläre Kurve nach Bogenlänge parametrisierbar ist. Eine Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung:
$c': I [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n$ [/mm] , $c'(t) = (c'_1(t) ; c'_2(t) ; ... ; [mm] c^n(t)$ [/mm] mit [mm] $t\in [/mm] I$
für alle [mm] $t\in [/mm] I$ ungleich Null ist.
Die Parameterdarstellung waere doch:
$x= [mm] \rho \cos(\theta) [/mm] = [mm] \cos(\theta) [/mm] - [mm] \cos(2\theta) \cdot \cos(\theta)$
[/mm]
und
$y= [mm] \rho \sin(\theta) [/mm] = [mm] \cos(\theta) [/mm] - [mm] \cos(2\theta) \cdot \sin(\theta)$
[/mm]
Wenn ich mir nun $y'$ und $x'$ anschaue:
$x' = [mm] \frac{1}{2} \cdot (\sin(\theta) [/mm] - [mm] 2\cdot\sin(2\theta) [/mm] + [mm] 3\cdot\sin(3\theta))$
[/mm]
$y' = [mm] \frac{1}{2} \cdot (\cos(\theta) [/mm] + [mm] 2\cdot\cos(2\theta) [/mm] + [mm] 3\cdot\cos(3\theta))$
[/mm]
dann sehe ich ja sofort dass fuer [mm] $\theta [/mm] = 0$ sowohl $x'$ als auch $y'$ null werden, also ist $c'(0) = (0; 0)$ gleich null, und die Kurve ist nicht regulär.
Wäre das der Beweis dafür dass die Kurve folglich nicht nach Bogenlänge parametrisierbar ist, oder habe ich einen völlig falschen Ansatz gewählt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 19.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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