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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 08.12.2007 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung nach p auf:
$ 15000 = 1000 [mm] \cdot \sum_{k=0}^{10} \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^k [/mm] $ |
Hi all, ich bin schon seit zwei Stunden an dieser Gleichung dran, und ich bin mir sicher, mit irgendeinem Trick lässt sich die Gleichung total einfach lösen, aber ich komme nicht drauf!!
Ich sehe, dass es eine endliche geometrische Reihe der Form $ [mm] \sum_{k=0}^{n} q^k [/mm] $ ist, die ich mit der Formel (haben wir schonmal bewiesen) $ [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} [/mm] $ berechnen kann.
Also:
$ 15000 = 1000 [mm] \cdot \sum_{k=0}^{10} \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^k \gdw [/mm] 15000 = 1000 [mm] \cdot \frac{1 - (1 + \frac{p}{100})^{10+1}}{1 - (1 + \frac{p}{100})} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 15000 = 1000 [mm] \cdot \frac{1 - (1 + \frac{p}{100})^{11}}{1 - 1 - \frac{p}{100}} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 15000 = 1000 [mm] \cdot \frac{1 - (1 + \frac{p}{100})^{11}}{- \frac{p}{100}} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 15000 = 1000 [mm] \cdot [/mm] -100 [mm] \cdot \frac{1 - (1 + \frac{p}{100})^{11}}{p} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 15000 = -100000 [mm] \cdot \frac{1 - (1 + \frac{p}{100})^{11}}{p} [/mm] $
Was ich versucht habe: den q^11 Term auf eine Seite bringen und dann die 11-te Wurzel ziehen:
(durch -100000, mal p, minus 1, mal -1)
$ [mm] \gdw \frac{15}{100}p [/mm] - 1 = (1 + [mm] \frac{p}{100})^{11} [/mm] $
$ [mm] \gdw \wurzel[11]{\frac{15}{100}p - 1} [/mm] = 1 + [mm] \frac{p}{100} [/mm] $
Aber jetzt habe ich das Problem einfach nur verlagert.
Hab auch mit den komplexen Zahlen experementiert [mm] (q^2 [/mm] = -1), aber da kam nur Käse raus.
Kann mir jemand einen Hinweis geben? Ich stecke fest!!!
Viele Grüße,
schnuri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 08.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Lösen Sie folgende Gleichung nach p auf:
>
> [mm]15000 = 1000 \cdot \sum_{k=0}^{10} \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^k[/mm]
>
> Ich sehe, dass es eine endliche geometrische Reihe der Form
> [mm]\sum_{k=0}^{n} q^k[/mm] ist, die ich mit der Formel (haben wir
> schonmal bewiesen) [mm]\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}[/mm] berechnen
> kann.
Und dann erhältst du letztendlich eine algebraische Gleichung 11. Grades für dein p. Die kann man i. a. nicht in geschlossener Form lösen. Also vermute ich mal, daß du ein Näherungsverfahren anwenden sollst (Newton oder regula falsi).
Gruß aus Hamburg
Dieter
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:35 Sa 08.12.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi Dieter,
danke für den Hinweis. Näherungsverfahren hatten wir noch nicht, haben jetzt die Info bekommen, dass wir diese Gleichung als Polynom ausschreiben sollen und dann mit octave oder matlab berechnen [mm] :\
[/mm]
Danke und schönes Wochenende,
Juri
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