Nachweis Divergenz Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Sa 12.05.2007 | | Autor: | whilo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\sin^2(1/n)
[/mm]
Es soll diese Reihe auf Konvergenz bzw Divergenz geprüft werden. Die dazugehörige Folge geht gegen 0, was notwendig aber nicht hinreichend ist. Weiss echt nicht weiter. Welches Kriterium ließe sich hier erfolgreich anwenden? (Die Summe läuft gegen unendlich und nicht gegen n)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo whilo!
Kommst Du mit folgender Abschätzung weiter?
Es gilt für $ z \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ : [mm] $\sin(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ z$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 12.05.2007 | | Autor: | whilo |
Nein, das sagt mir nichts... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo whilo!
Mit der o.g. Abschätzung gilt doch:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\sin^2\left(\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left[\sin\left(\bruch{1}{n}\right)*\sin\left(\bruch{1}{n}\right)\right] [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{n}*\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Und was weißt Du über die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 12.05.2007 | | Autor: | whilo |
Die geht doch gegen [mm] (\pi^2)/6 [/mm] . also ist meine reihe auch konvergent...Danke
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