Nachweis Element der Ordnung 8 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p=4k+3 eine Primzahl.
Zeigen sie, dass der Körper [mm] \IF_{p^2} [/mm] = [mm] \{ A = \pmat{ a & b \\ -b & a }, a,b \in \IZ_p \} [/mm] Elemente der Ordnung 8 enthält. |
Hallo zusammen,
ich habe mal [mm] A^8 [/mm] allgemein ausgerechnet und weiß nun, dass a und b folgende Kongruenzen erfüllen sollten:
[mm] ((a^2-b^2)^2 [/mm] - [mm] 4a^2b^2)^2 \equiv [/mm] 1 modp
[mm] ((a^2-b^2)^2 [/mm] - [mm] 4a^2b^2)(4ab(a^2-b^2)) \equiv [/mm] 0 modp
so und jetzt weiß ich nicht weiter.
Hab jetzt versucht durch verschieden Einschränkungen weiterzukommen, also zum Beispiel a=b, dann ist das zweite auf jeden Fall erfüllt, aber irgendwie war das bis jetzt nicht zielführend. Vielleicht bin ich ja auch total auf dem Holzweg...
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen 
LG
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> [mm]((a^2-b^2)^2[/mm] - [mm]4a^2b^2)^2 \equiv[/mm] 1 modp
> [mm]((a^2-b^2)^2[/mm] - [mm]4a^2b^2)(4ab(a^2-b^2)) \equiv[/mm] 0 modp
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> so und jetzt weiß ich nicht weiter.
> Hab jetzt versucht durch verschieden Einschränkungen
> weiterzukommen, also zum Beispiel a=b, dann ist das zweite
> auf jeden Fall erfüllt, aber irgendwie war das bis jetzt
> nicht zielführend. Vielleicht bin ich ja auch total auf
> dem Holzweg...
Es mag schönere Wege geben, aber dein Weg führt durchaus auch zum Ziel.
Dafür ist allerdings die Frage, wie viel du schon über Kongruenzen und in diesem Fall quadratische Reste weißt.
Zuerst folgt aus deiner zweiten Gleichung, dass $a=b$ die einzige Möglichkeit ist.
Der vordere Faktor muss zum Quadrat 1 ergeben, kann also sicherlich nicht 0 sein.
$4 [mm] \not \equiv [/mm] 0$ (mod p) glaubst du mir hoffentlich auch noch.
Und wenn du $a$ oder $b$ auf 0 setzt so sagt die erste Gleichung, dass du ein Element der Ordnung 8 in [mm] $\IZ_p$ [/mm] finden sollst; dieses existiert aber nicht, da $8 [mm] \not [/mm] | p-1$.
Also bleibt einzig [mm] $a^2 [/mm] = [mm] b^2$, [/mm] und da in [mm] $4a^2b^2$ [/mm] nur Quadrate auftreten kann man OBdA $a=b$ sagen.
Nun vereinfacht sich die erste Gleichung zu:
[mm] $16a^8 \equiv [/mm] 1$
oder:
[mm] $(2a^2)^4 \equiv [/mm] 1$
Es gibt aber modulo $p$ auch keine Elemente der Ordnung 4, also muss bereits [mm] $(2a^2)^2 \equiv [/mm] 1$ gelten.
Nun sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. $k$ gerade: Dann ist gibt es ein $x [mm] \in \IZ$, [/mm] sodass [mm] $x^2 \equiv -2^{-1}$ [/mm] (mod p) gilt.
2. $k$ ungerade: Dann gibt es ein $x [mm] \in \IZ$, [/mm] sodass [mm] $x^2 \equiv 2^{-1}$ [/mm] (mod p) gilt.
Wählst du nun jeweils $a=b=x$, so sind beide Kongruenzen erfüllt.
Was du noch machen darfst ist zu begründen, wieso dieses $x$ jeweils existiert.
Dafür wäre es sehr praktisch, wenn du schon weißt wie man herausfindet, ob eine Zahl quadratischer Rest modulo einer Primzahl ist.
Falls nicht erzähl mal kurz, was du schon kennst/hattest und vielleicht auch in welchem Kontext diese Aufgabe auftaucht.
lg
Schadow
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Hi Schadow,
vielen Dank für die ausführliche, schnelle und verständliche Antwort!
Zur Existenz des x, das würde ich mit Legendre machen:
Zuerst für k gerade und damit p = 8l + 1:
1 = [mm] (\frac{1}{p}) [/mm] = [mm] (\frac{2}{p})(\frac{2^{-1}}{p})
[/mm]
da der erste Faktor 1 ist wegen p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 8, ist auch der zweite 1.
k ungerade, genau gleich p=4(2l-1) + 1 = 8l - 3, damit p [mm] \equiv [/mm] -3 mod8 funktioniert also genauso, mit dem Minus der -2 davor.
Schönes Wochenende noch!
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