Nachweis Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen Sie nach: ({0, 1}, XOR, AND) ist ein Ko ̈rper. (4 Punkte)
Sie ko ̈nnen fu ̈r die 2 Aufgaben auf diesem U ̈bungszettel insgesamt bis zu 20 Punkte erhalten. Genauere Angaben zur Abgabe der U ̈bungszettel finden Sie auf der letzten Seite, nach den Aufgaben.
0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
1 XOR 0 = 1
1 XOR 1 = 0
0 AND 0 = 0
0 AND 1 = 0
1 AND 0 = 0
1 AND 1 = 1
(Hinweis: Fu ̈hren Sie den Nachweis entweder, indem Sie die Gu ̈ltigkeit aller Ko ̈rper- Axiome nachweisen, oder benutzen Sie den Umstand, dass 2 eine Primahl ist. Resultate aus der Vorlesung mu ̈ssen auch nicht mehr bewiesen werden.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie genau führe ich diesen Nachweiß durch?
Ich kann die Definition nennen, aber überhaupt nicht anwenden!
Fu ̈r einen Ko ̈rper (K,+,·) muss gelten:
+: K × K → K und ·: K × K → K sind zweistellige Operationen auf K. + und · sind assoziativ, d.h., es gilt fu ̈r alle x,y,z ∈ K:
(x+y)+z=x+(y+z) und (x·y)·z=x·(y·z)
+ hat ein neutrales Element, welches mit 0 bezeichnet wird und · hat ein neutrales Element, welches mit 1 bezeichnet wird.
Jedes Element hat ein additives Inverses und jedes Element, außer 0, hat ein multiplikatives Inverses.
+ und · sind kommutativ, d.h., es gilt fu ̈r alle x,y ∈ K:
x+y=y+x und x·y=y·x
Es gilt das Distributivgesetz, d.h., fu ̈r alle x , y , z ∈ K gilt
x·(y+z)=x·y+x·z und (x+y)·z=x·z+y·z (Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten aufgrund
der Kommutativit ̈at von + und ·.)
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Hallo
Du hast im Prinzip alles genannt, was du überprüfen musst...
Nur anstatt von + und [mm] \cdot [/mm] hast du jetzt die Operationen XOR und AND.. aber zu überprüfen, ob diese Operationen das gewünschte erfüllen, ist jetzt ja einfach, da du sogar gegeben hast, was die Resultate sind.
Und da dein "Körper" nur 2 Elemente hat, ist es nicht so aufwändig alles zu überprüfen.
Grüsse, Amaro
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Ich habe also im Endeffekt 5 Bedingungen:
Muss assoziativ sein, muss 0 und 1 haben, die additive und die multiplikative Inverses muss gebildet werden können, dass Kommutativgesetz muss gelten und das Distributiv gesetz....
Das erste Bsp. also 0 XOR 0 =0 gilt nicht...
Heißt das, dass dann 0 XOR 0=0 ist kein Körper?
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Hey
> Ich habe also im Endeffekt 5 Bedingungen:
> Muss assoziativ sein, muss 0 und 1 haben, die additive und
> die multiplikative Inverses muss gebildet werden können,
> dass Kommutativgesetz muss gelten und das Distributiv
> gesetz....
> Das erste Bsp. also 0 XOR 0 =0 gilt nicht...
> Heißt das, dass dann 0 XOR 0=0 ist kein Körper?
Was 0 XOR 0 = 0 ist kein Körper.. was ist das für eine Aussage???
Du hast gegeben eine Menge [mm] \{0,1\} [/mm] und zwei Operationen, XOR und AND
Für deine Operationen hast du gegeben, wie sie ausgerechnet werden.. also beispielsweise 0 XOR 0 = 0
Du musst nun Zeigen, dass deine Menge, zusammen mit den Operationen, ein Körper ist.
Jetzt weist du ales nach, was für einen Körper gelten muss.. beispielsweise die Kommutativität vom XOR:
0 XOR 1 = 1 = 1 XOR 0
(Das kannst du an den angegebenen Daten ablesen)
Jetzt die Kommutativität von AND:
1 AND 0 = 0 = 0 AND 1
Jetzt prüfst du die Distributivität, Assoziativität, findest das neutrale Element für XOR bzw. AND, sowie die Inversen. :)
Grüsse, Amaro
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