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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Nachweis UVR
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Nachweis UVR: Hilfe,Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 So 10.04.2016
Autor: mathnoob9

Aufgabe
Sei K Körper und V der Vektorraum der 2x2 Matrizen über K.
Desweiteren sei C = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1} [/mm]  und
C'= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm]

U1:={A [mm] \in [/mm] V l AC=CA }
U2:={A [mm] \in [/mm] V l AC'=C'A}

i) zeige das U1,U2 UVR von V sind

Also zuerst ist zu zeigen das U1 nicht leer ist.(U2 analog)
Also da V ein VR ist ist die 0 Matrix aufjedenfall enthalten also auch in U1.
Also sei A=0 es gilt dann A*C=C*A also ist die Bedingung erfüllt - > U1 ist nicht leer.


sei a [mm] \in [/mm] K A [mm] \in [/mm] V
zz.: a *A [mm] \in [/mm] U1
(a*A)*C=C*(a*A) da Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist kommen hier verschiedene Matrizen raus.
Wie kann ich das denn Nachweisen?
muss ich meine A´s irgendwie einschränken sodass die Matrizenmultiplikation kommutativ ist?
aber es soll doch für alle A [mm] \in [/mm] V = Vektorraum der 2x2 Matrizen gelten das A*C=C*A ??

(U2 analog )

Was übersehe ich ?^^

danke für eure hilfe !  


        
Bezug
Nachweis UVR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 So 10.04.2016
Autor: Reynir

Hi,
du sollst für Elemente aus dem potenziellen UV prüfen und nicht für alle aus V.
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
                
Bezug
Nachweis UVR: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:45 So 10.04.2016
Autor: mathnoob9

ich hoffe ich verstehe dich richtig ^^

sei z [mm] \in [/mm] K , A [mm] \in [/mm] V
A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]


z*A=  [mm] \pmat{ (z*a) & (zb) \\ zc & zd } [/mm]                                      


(z*A)*C=  [mm] \pmat{ za & za+zb \\ zc & zc+zd } [/mm]


C*(z*A)=  [mm] \pmat{ za+zc & zb+zd \\ zc & zd } [/mm]

keine Ahnung wieso die Matrizen nicht richtig dargestellt werden?

kannst du mir vielleicht zeigen wie du das meinst für die skalarmultiplikation oder vektoraddition für U1 oder U2 dann kann ich den Rest selbst machen


Bezug
        
Bezug
Nachweis UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 So 10.04.2016
Autor: angela.h.b.


> Sei K Körper und V der Vektorraum der 2x2 Matrizen über
> K.
>  Desweiteren sei C = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm]  und
> C'= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> U1:={A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V l AC=CA }

>  U2:={A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V l AC'=C'A}

>  
> i) zeige das U1,U2 UVR von V sind
>  Also zuerst ist zu zeigen das U1 nicht leer ist.(U2
> analog)
>  Also da V ein VR ist ist die 0 Matrix aufjedenfall
> enthalten also auch in U1.
>  Also sei A=0 es gilt dann A*C=C*A also ist die Bedingung
> erfüllt - > U1 ist nicht leer.

Hallo,

es ist richtig, daß die Nullmatrix in U_1 ist, aber Deine Begründung ist kraus.
Zu prüfen ist, ob das neutrale Element von V, also die Nullmatrix 0, in U_1 ist:
es ist 0*C=C*0, also ist 0\in U_1.

Als nächstes ist zu zeigen, daß für A,B\in U_1 auch A+B\in U_1 ist:

Seien A,B\in U_1.
Dann ist A*C=C*A und B*C=C*B.

Es ist (A+B)*C=...=...=C*(A+B) ==> (A+B)\in U_1.

Weiter ist zu zeigen, daß für alle k\in K und für alle A\in U_1 auch die Matrix kA in U_1 ist:

sei k\in K und A\in U_1, dh. A*C=C*A.

Es ist ...


U_2 dann analog.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Nachweis UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 So 10.04.2016
Autor: mathnoob9

danke Angela!
Es ist  (k*A)*C=...=C*(k*A) -> k*A [mm] \in [/mm] U1

aber reicht das denn so allgemein und mit den ... dazwischen?

ansonsten habe ich das verstanden

ii)weiter soll ich noch eine Basis von U1 und U2 bestimmen und die Dimension aber die habe ich ja sobald ich die Basen habe

iii)und noch weiter eine Basis des schnittes und die Dimension vom schnitt und von U1 + U2 (das bekomme ich denke ich hin wenn ich basen von U1 und U2 habe)

Wie könnte so eine Basis aussehen? aus einem anderen Fred weiss ich das
jede Diagonalmatrix mit gleichen Diagonaleintraegen mit jeder anderen Matrix kommutiert
aber meine Matrizen müssen ja nur mit C kommutieren also...?
A ist allgemein:
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & a } [/mm] wähle wäre meine Basis :
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
und somit dim U1 =2

Für U2 :
A ist allgemein:
[mm] \pmat{ a & 0 \\ b & a } [/mm] meine Basis :
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm]

Jetzt möchte ich eine Basis vom Schnitt finden mir ist gleich aufgefallen das U1 und U2 beide einen gleichen Basisvektor haben.
B(U1)=(v1,v2)
B(U2)=(v1,w2)
sei a1,a2,a3,a4 [mm] \in [/mm] K
Es gilt:
a1*v1+a2*v2-a3(v1)-a4(w2)=0
Auf die art erhalte ich eine Matrix der Form 2x8 also eigentlich 2x4 da ja eine 2x2 Matrix für einen Vektor steht

irgendwie klappt das aber nicht kann ich das nicht einfach ablesen ?
und sagen v1 ist Basis vom schnitt weil der Vektor in beiden Basen vorkommt?


Bezug
                        
Bezug
Nachweis UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:39 Mo 11.04.2016
Autor: angela.h.b.


> danke Angela!
>  Es ist  (k*A)*C=...=C*(k*A) -> k*A [mm]\in[/mm] U1

>  
> aber reicht das denn so allgemein und mit den ...
> dazwischen?

Hallo,

nein, natürlich nicht. Ich dachte mir es so, daß Du bei den Pünktchen etwas Sinnvolles einfügst...

>  
> ansonsten habe ich das verstanden
>
> ii)weiter soll ich noch eine Basis von U1 und U2 bestimmen
> und die Dimension aber die habe ich ja sobald ich die Basen
> habe
>  
> iii)und noch weiter eine Basis des schnittes und die
> Dimension vom schnitt und von U1 + U2 (das bekomme ich
> denke ich hin wenn ich basen von U1 und U2 habe)
>  
> Wie könnte so eine Basis aussehen? aus einem anderen Fred
> weiss ich das
>  jede Diagonalmatrix mit gleichen Diagonaleintraegen mit
> jeder anderen Matrix kommutiert
>  aber meine Matrizen müssen ja nur mit C kommutieren
> also...?
>  A ist allgemein:

Du meinst, daß die [mm] A\in U_1 [/mm] so aussehen:

>  [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & a }[/mm]

mit [mm] a,b\in [/mm] K

> wähle wäre meine Basis :
>  [mm]v_1:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] , [mm] v_2:=[/mm] [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]

Ja, damit hast Du eine Basis gefunden.

>  und
> somit dim U1 =2

Ja.

>
> Für U2 :
>  A ist allgemein:
>  [mm]\pmat{ a & 0 \\ b & a }[/mm] meine Basis :
>  [mm]w_1:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] , [mm]w_2:=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
>  
> Jetzt möchte ich eine Basis vom Schnitt finden.



> mir ist
> gleich aufgefallen das U1 und U2 beide einen gleichen
> Basisvektor haben.
>  B(U1)=(v1,v2)
>  B(U2)=(v1,w2)
>  sei a1,a2,a3,a4 [mm]\in[/mm] K
>  Es gilt:
>  a1*v1+a2*v2-a3(v1)-a4(w2)=0
>  Auf die art erhalte ich eine Matrix der Form 2x8

???

Nein.

Du erhältst

[mm] a_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}+a_2\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }-a_3\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-a_4\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }=\pmat{0&0\\0&0} [/mm]

<==>

[mm] \pmat{ a_1+a_2-a_3-a_4 & a_2 \\ a_4 & a_1-a_3}=\pmat{0&0\\0&0} [/mm]

und daraus

[mm] a_2=0, [/mm]
[mm] a_4=0 [/mm]
[mm] a_1=a_3, [/mm]

und nun weißt Du:

die Elemente des Schnittes sehen so aus: [mm] a_1*\pmat{1&0\\0&1}. [/mm]

Also ist [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] eine Basis des Schnittes, und der Schnitt hat die Dimension 1.


> also
> eigentlich 2x4 da ja eine 2x2 Matrix für einen Vektor
> steht
>  
> irgendwie klappt das aber nicht kann ich das nicht einfach
> ablesen ?
>  und sagen v1 ist Basis vom schnitt weil der Vektor in
> beiden Basen vorkommt?

Man kann es sich so überlegen:

der Schnitt kann ja höchstens die Dimension 2 haben.
Ganz sicher ist [mm] v_1 [/mm] im Schnitt.
Hätte der Schnitt die Dimension 2, müßte [mm] v_2 [/mm] auch im Schnitt sein.
Aber [mm] v_2 [/mm] ist nicht in [mm] U_2. [/mm]
Also ist [mm] U_1\cap U_2=. [/mm]

LG Angela

>  


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