Nachweis der Monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:33 Di 18.12.2007 | | Autor: | Jochen07 |
| Aufgabe | | Die Folge a(n+1)=0,5a(n)+1/a(n) ist monoton fallend. Beweise dies! |
Die einfachen Ansätze, wie a(n)-a(n+1) >= 0 führen nicht zum Ziel. Ich habe den Beweis mit vollständiger Induktion geführt. Gibt es etwas Einfacheres?
Übrigens: der Grenzwert ist Wurzel(2)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Folge a(n+1)=0,5a(n)+1/a(n) ist monoton fallend.
> Beweise dies!
> Die einfachen Ansätze, wie a(n)-a(n+1) >= 0 führen nicht
> zum Ziel.
Ist auch nicht erstaunlich: denn ohne Angabe des Startwertes [mm] $a_1$ [/mm] kann man auch nicht behaupten, dass die Folge (also unabhängig von [mm] $a_1$) [/mm] monoton fallend sei. Z.B. folgt aus [mm] $a_n=1$ [/mm] dass [mm] $a_{n+1}=1.5$, [/mm] also [mm] $>a_n$ [/mm] ist.
> Ich habe den Beweis mit vollständiger Induktion
> geführt. Gibt es etwas Einfacheres?
> Übrigens: der Grenzwert ist Wurzel(2)
Allenfalls für Startwert [mm] $a_1>0$. [/mm] Aber für Startwert [mm] $a_1<0$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 18.12.2007 | | Autor: | Jochen07 |
stimmt natürlich  ,
ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich vom Startwert a(1)=2 ausgegangen bin.
Dann sind die nächsten Glieder a(2)=1,5 und a(3)=1,41667
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