Nachweis eines Ereignisfeldes < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei F ein Ereignisfeld in [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' \subset \Omega.
[/mm]
Zeigen Sie, dass F' = [mm] \Omega' \cap [/mm] F = [mm] \{ \Omega' \cap A | A \in F \}
[/mm]
ein Ereignisfeld ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Solange das Komplement in [mm] \Omega' [/mm] gebildet wird, ist es klar, dass F' ein Ereignisfeld ist - aber ich habe keine Ahnung, wie das Formal zu zeigen ist?!
danke
|
|
| |
|
Huhu,
eins Vorweg: Anstatt "Ereignisfeld" benutz ich mal den gebräuchlicheren Begriff " [mm] $\sigma$-Algebra$".
[/mm]
> Solange das Komplement in [mm]\Omega'[/mm] gebildet wird,
wird es
> ist es
> klar, dass F' ein Ereignisfeld ist - aber ich habe keine
> Ahnung, wie das Formal zu zeigen ist?!
Du musst halt zeigen, dass das Komplement von $A' = [mm] \Omega' \cap [/mm] A$ bezüglich [mm] \Omega' [/mm] wieder in [mm] \mathcal{F'} [/mm] liegt, d.h. sich als [mm] $\Omega' \cap [/mm] B$ darstellen lässt für ein $B [mm] \in \mathcal{F}$
[/mm]
Letztlich ist es einfach, wenn man benutzt, dass für zwei Mengen X und Y gilt: [mm] $X\setminus [/mm] Y = X [mm] \cap Y^c$.
[/mm]
Nun bilde mal das Komplement von A' bzgl [mm] \Omega', [/mm] dann stehts eigentlich schon da.....
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Das Komplement von A' bzgl [mm] \Omega' [/mm] ist ja A'^c [mm] \cap \Omega', [/mm] damit ist es auch in [mm] \Omega' [/mm] enthalten. Aber wie rechtfertige ich den Schnitt mit [mm] \Omega', [/mm] also, dass ich das Komplement in [mm] \Omega' [/mm] bilde und nicht in [mm] \Omega [/mm] selbst ?!
[mm] (\Omega' \cap A)^c [/mm] wäre [mm] \Omega'^c \cup A^c. [/mm] Da [mm] \Omega'^c [/mm] = {} für das Komplement in [mm] \Omega', [/mm] ist also das Ergebnis [mm] A^c [/mm] - womit ich aber imo noch immer nicht bewiesen habe, dass es in [mm] \Omega' [/mm] liegt?!....
|
|
|
| |
|
> Aber wie
> rechtfertige ich den Schnitt mit [mm]\Omega',[/mm] also, dass ich
> das Komplement in [mm]\Omega'[/mm] bilde und nicht in [mm]\Omega[/mm] selbst
> ?!
Damit, dass die Aufgabe unsauber gestellt ist 
z.z. ist nämlich, dass [mm] \mathcal{F'} [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega' [/mm] ist, d.h. es muss gelten:
$A [mm] \in \mathcal{F'} \Rightarrow \Omega'\setminus [/mm] A [mm] \in \mathcal{F'}$
[/mm]
[mm] \mathcal{F'} [/mm] ist im Allgemeinen auch gar keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] sonsofern kannst du das gar nicht zeigen.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
