Nachweis korrekt aufschreiben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:49 So 27.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn ich z.B. nachweisen soll, ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{[\bruch{n-1}{3}]}}{n} [/mm] konvergiert, wie kann ich das am besten aufschreiben?
Dass es konvergiert, ist klar (z.B. wegen dem Dirichletkriterium, das wir aber nicht gehabt haben), aber zum Nachweis kann ich nur auf die bekannten Kriterien zurückgreifen: Majoranten-, Minoranten-, Leibniz-, Wurzel- und Quotientenkriterium.
Am meisten erinnert einen das ja an das Leibnizkriterium, aber dennoch ist das mit der Gaußlammer wieder etwas anderes. Eine vernünftige Majorisierung würde mir auch nicht einfallen.
Oder sollte ich dann einen langen Weg gehen, z.B. indem Teilfolgen der Partialsumme der Reihe betrachte und zeige, dass diese alle konvergieren?
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
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> Wenn ich z.B. nachweisen soll, ob
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{[\bruch{n-1}{3}]}}{n}[/mm]
> konvergiert, wie kann ich das am besten aufschreiben?
>
> Dass es konvergiert, ist klar (z.B. wegen dem
> Dirichletkriterium, das wir aber nicht gehabt haben), aber
> zum Nachweis kann ich nur auf die bekannten Kriterien
> zurückgreifen: Majoranten-, Minoranten-, Leibniz-, Wurzel-
> und Quotientenkriterium.
>
> Am meisten erinnert einen das ja an das Leibnizkriterium,
> aber dennoch ist das mit der Gaußlammer wieder etwas
> anderes. Eine vernünftige Majorisierung würde mir auch
> nicht einfallen.
> Oder sollte ich dann einen langen Weg gehen, z.B. indem
> Teilfolgen der Partialsumme der Reihe betrachte und zeige,
> dass diese alle konvergieren?
>
> Danke.
>
> Teufel
Guten Tag !
du kannst dir doch die Folge [mm] (e_n) [/mm] der Exponenten [mm] e_n=\left\lfloor\bruch{n-1}{3}\right\rfloor
[/mm]
sowie die Vorzeichen der entstehenden Zähler [mm] z_n=(-1)^{e_n} [/mm] angucken.
Es ist ja stets [mm] z_n=+1 [/mm] oder [mm] z_n=-1 [/mm] . Dann lässt sich die
Reihe bequem als eine Leibnizreihe oder als eine Summe
von solchen darstellen.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:55 So 27.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Und danke erstmal.
Da hast du natürlich Recht.
Also [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}---+++...
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{1}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{7}+-+-...)+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{8}+-+-...)+(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{9}+-+-...)
[/mm]
Die 3 "großen" Summanden kann man dann wieder eben als Summe schreiben und die konvergieren alle nach Herrn Leibniz, daher auch die Ursprungssumme. Denn wenn die Ursprungssumme divergieren würde, müsste wenigstens eine alternierende Reihe divergieren.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 27.12.2009 | | Autor: | andreas |
hallo,
man sollte hierbei allerdings noch begründen, warum man so umordnen darf, ohne dass sich das konvergenzverhalten ändert, siehe ![[]](/images/popup.gif) riemannscher umordnungssatz.
grüße
andreas
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> hallo,
>
> man sollte hierbei allerdings noch begründen, warum man so
> umordnen darf, ohne dass sich das konvergenzverhalten
> ändert, siehe
> riemannscher umordnungssatz.
>
> grüße
> andreas
Um diese theoretische Komplikation zu vermeiden, kann
man aus der ursprünglichen Reihe zuerst eine neue machen,
indem man immer je 3 Summanden zu einem zusammen-
fasst:
$ [mm] \underbrace{\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}\right)}_{t_1}-\underbrace{\left(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}\right)}_{t_2}+\underbrace{\left(\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}\right) }_{t_3}-\,.....\,+\,..... [/mm] $
und zeigt, dass die [mm] t_i [/mm] in dieser alternierenden Reihe eine
monoton fallende Nullfolge bilden.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 So 27.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh ja, das ist super und man muss überhaupt nicht weit ausholen, um die Konvergenz nachzuweisen, danke!
Auch danke an dich, andreas!
Hast Recht, zur Umordnung müsste ich noch etwas schreiben.
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