Nachweis von Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $ \IQ $ \text{und} $ \IN $ \text{sind gleichmächtig, also gibt es eine Bijektion} $ f : \IN \to \IQ. $ \text{Wir betrachten die rationale Folge} $ {x_n}_{ n\in\IN} $ \text{mit}
$ x_n = f (n) $
\text{Zeigen Sie, diese Folge ist divergent.} [/mm] |
[mm] \text{Hallo!}
[/mm]
[mm] \text{Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Probleme einen Ansatz zu finden. Generell denke ich, dass es wohl auf einen Widerspruchsbeweis hinauslaufen wird. Dabei habe ich zwei Ideen, wie dieser aussehen könnte, komme jedoch nicht weiter.}
[/mm]
[mm] \text{1. Man könnte Annehmen, die Folge sei konvergent und dies zum Widerspruch führen, womit die Divergenz gezeigt wäre.}
[/mm]
[mm] \text{2. Ich kenne den Satz: Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.
Das heißt, wenn man zeigen könnte, dass} [/mm]
$ [mm] {x_n}_{n\in\IN} [/mm] $
[mm] \text{keine Cauchyfolge ist, folgt daraus, dass sie auch nicht konvergent sein kann, demnach also divergent wäre.}
[/mm]
[mm] \text{Weiter bin ich leider nicht gekommen, ich wäre dankbar, wenn jemand einen Hinweis geben könnte, wie man weiterdenken sollte.}
[/mm]
[mm] \text{Vielen Dank schonmal! Lg Wiebke}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]$ \IQ $ \text{und} $ \IN $ \text{sind gleichmächtig, also gibt es eine Bijektion} $ f : \IN \to \IQ. $ \text{Wir betrachten die rationale Folge} $ {x_n}_{ n\in\IN} $ \text{mit}
$ x_n = f (n) $
\text{Zeigen Sie, diese Folge ist divergent.}[/mm]
>
> [mm]\text{Hallo!}[/mm]
> [mm]\text{Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Probleme einen Ansatz zu finden. Generell denke ich, dass es wohl auf einen Widerspruchsbeweis hinauslaufen wird. Dabei habe ich zwei Ideen, wie dieser aussehen könnte, komme jedoch nicht weiter.}[/mm]
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> [mm]\text{1. Man könnte Annehmen, die Folge sei konvergent und dies zum Widerspruch führen, womit die Divergenz gezeigt wäre.}[/mm]
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> [mm]\text{2. Ich kenne den Satz: Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.
Das heißt, wenn man zeigen könnte, dass}[/mm]
> [mm]{x_n}_{n\in\IN}[/mm]
> [mm]\text{keine Cauchyfolge ist, folgt daraus, dass sie auch nicht konvergent sein kann, demnach also divergent wäre.}[/mm]
>
> [mm]\text{Weiter bin ich leider nicht gekommen, ich wäre dankbar, wenn jemand einen Hinweis geben könnte, wie man weiterdenken sollte.}[/mm]
also im Prinzip gehen, denke ich, beide Ansätze. Aber der zweite wird wohl ein (ganz kleines?) bisschen komplizierter (ist gerade nur so ein Gefühl meinerseits).
Kennst Du den Satz, dass in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] (mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) einer rationalen Zahl $q$ unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen?
(Das folgt z.B. aus ![[]](/images/popup.gif) Satz 3.4 von hier.)
Jetzt nimm' mal an, [mm] $(x_n)_n$ [/mm] sei konvergent. Dann gibt es eine Zahl $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x\,.$ [/mm] Für [mm] $\varepsilon [/mm] := 1 > 0$ gibt es also ein $N$ mit [mm] $|x_n-x| [/mm] < 1$ für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Insbesondere ist $y:=x+2 [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] In der [mm] $\varepsilon=1$-Umgebung [/mm] von [mm] $\,y\,$ [/mm] kann es dann aber nur noch endlich viele rationale Zahlen geben.
Das kannst Du nun mal sauber aufschreiben und überlegen, wie ich zu den Behauptungen komme.
P.S.:
Die obige Argumentation zeigt, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] jedenfalls im Körper [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergieren kann. Wenn man [mm] $(x_n)_n$ [/mm] als Folge in [mm] $\IR$ [/mm] betrachten würde, so könnte sie auch nicht konvergieren. Denn andernfalls bekäme einen Widerspruch zu der Tatsache, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
P.P.S.:
Mir ist gerade mal aufgefallen, dass sich die ganze Argumentation auch analog mit "Cauchyfolge" führen ließe. Wäre [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergent, so auch Cauchy. Also gäbe es zu [mm] $\varepsilon [/mm] =1/2$ ein $N$, so dass [mm] $|x_m-x_n| [/mm] < 1/2$ für alle $m,n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Dann folgt aber mit $m [mm] \ge [/mm] n$ dann [mm] $|x_n-x_N| \le |x_n-x_m|+|x_m-x_N| \,<\, [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge N\,,$ [/mm] d.h. dass alle bis auf endliche viele rationale Zahlen in der [mm] $1\,-$Umgebung [/mm] von [mm] $x_N$ [/mm] liegen würden. Zudem ist [mm] $y:=x_N+2 \in \IQ$ [/mm] und in der [mm] $1\,-$Umgebung [/mm] von $y$ können dann nur noch endlich viele rationale Zahlen liegen.
Diese Argumentation klappt so übrigens sowohl im Falle, dass man den Körper [mm] $\IQ$ [/mm] betrachtet als auch im Falle von [mm] $\IR$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hey!
Also den Anfang habe ich verstanden, ich würde das so ausformulieren:
Zu zeigen: [mm] {x_n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] ist divergent.
Beweis (durch Widerspruch):
Annahme: [mm] {x_n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] ist konvergent.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1. Es gibt einen Grenzwert: [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
2. Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es eine Zahl N [mm] \in \IN, [/mm] so das [mm] \forall [/mm] n > N mit n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] d(x_n, x_0) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = 1, da 1>0 ist das erlaubt.
Dann verstehe ich nicht was du mit y meinst? Wählst du dir einen Grenzwert? Darf man das überhaupt?
Also dann würde da stehen [mm] x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + 2 mit [mm] (x_0 [/mm] + 2) [mm] \in \IQ.
[/mm]
Aber dann würde doch folgern: [mm] |x_0 [/mm] + 2 - [mm] x_0| [/mm] < 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] |2| < 1 und man hätte schon einen Widerspruch.
Und dann argumentierst du damit, dass es nur endlich viele rationale Zahlen gibt. Also den Satz dazu, hatte ich so ähnlich:
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] mit x < y und r [mm] \in \IQ [/mm] gilt:
x < r < y
Aber warum folgt aus dem Satz, dass in einer [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung einer Zahl unendlich viele reele Zahlen liegen müssen? Und wo ist dann der Widerspruch dazu?
Es wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Lg Wiebke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:09 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey!
> Also den Anfang habe ich verstanden, ich würde das so
> ausformulieren:
>
> Zu zeigen: [mm]{x_n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] ist divergent.
>
> Beweis (durch Widerspruch):
> Annahme: [mm]{x_n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] ist konvergent.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1. Es gibt einen Grenzwert: [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm]
> = [mm]x_0[/mm]
>
> 2. Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es eine Zahl N [mm]\in \IN,[/mm] so
> das [mm]\forall[/mm] n > N mit n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]d(x_n, x_0)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow |x_n[/mm] - [mm]x_0|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Wähle [mm]\varepsilon[/mm] = 1, da 1>0 ist das erlaubt.
> Dann verstehe ich nicht was du mit y meinst? Wählst du dir
> einen Grenzwert? Darf man das überhaupt?
na, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen ein [mm] $x_0 \in \IQ$ [/mm] konvergieren würde, dann kann ich doch einfach [mm] $y:=x_0+2$ [/mm] definieren und dann gilt $y [mm] \in \IQ$, [/mm] weil $y$ die Summe zweier rationaler Zahlen ist. Insbesondere müßte es dann nach dem erwähnten Satz in jeder noch so kleinen [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $y$ (mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) dann unendlich viele rationale Zahlen geben. Ich zeige dann, dass aber $y [mm] \in \IQ$ [/mm] dann so ist, dass es für $y$ eben eine gewisse [mm] $\varepsilon_0$-Umgebung [/mm] (mit einem [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$) gibt, die nur endlich viele rationale Zahlen enthält. Das ist dann der Widerspruch. (Das widerspricht ja eben dem Satz, dass man in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] einer jeden rationalen Zahl unendlich viele weitere rationale Zahlen findet).
> Also dann würde da stehen [mm]x_n[/mm] = [mm]x_0[/mm] + 2 mit [mm](x_0[/mm] + 2) [mm]\in \IQ.[/mm]
Nein. Was Du vielleicht meinst, ist, dass dann die Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] mit [mm] $y_n:=x_n+2$ [/mm] gegen [mm] $y:=x_0+2$ [/mm] konvergieren würde. Das ist trivial nachzurechnen, es folgt wegen:
[mm] $|y_n-y|=|(x_n+2)-(x_0+2)|=|x_n-x_0|\,.$
[/mm]
> Aber dann würde doch folgern: [mm]|x_0[/mm] + 2 - [mm]x_0|[/mm] < 1.
> [mm]\Rightarrow[/mm] |2| < 1 und man hätte schon einen Widerspruch.
Wie Du auf diese Zeile kommst, ist mir schleierhaft. Ich würde da nur so einen Sinn drin erkennen, wenn Du sagst:
"Okay, ich prüfe mal, ob [mm] $(y_n)_n$ [/mm] nicht doch gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert. Es gilt [mm] $|x_n+2-x_0| \to |x_0+2-x_0|=2 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] also kann das nicht stimmen."
Aber da der Grenzwert eindeutig ist (im metrischen Raum) und wir schon vorher erkannt haben, dass [mm] $(y_n)$ [/mm] gegen [mm] $x_0+2$ [/mm] konvergiert, kann [mm] $(y_n)$ [/mm] natürlich auch nicht auch noch gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren.
Aber die Folge [mm] $(y_n)$ [/mm] brauchen wir auch gar nicht, dass $y [mm] \in \IQ$, [/mm] definiert durch [mm] $y=x_0+2$, [/mm] ist interessant.
> Und dann argumentierst du damit, dass es nur endlich viele
> rationale Zahlen gibt.
Um Gottes Willen!!! Das habe ich nie gesagt!!! Es gibt abzählbar unendlich viele rationale Zahlen. Ich zeige dann nur (s.o.):
"dass es für $y$ eben eine gewisse [mm] $\varepsilon_0$-Umgebung [/mm] (mit einem [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$) gibt, die nur endlich viele rationale Zahlen enthält. Das ist dann der Widerspruch."
> Also den Satz dazu, hatte ich so
> ähnlich:
> Für x,y [mm]\in \IR[/mm] mit x < y und r [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> x < r < y
> Aber warum folgt aus dem Satz, dass in einer [mm]\varepsilon[/mm] -
> Umgebung einer Zahl unendlich viele reele Zahlen liegen
> müssen? Und wo ist dann der Widerspruch dazu?
Na, das kann man sich auch sehr einfach anders herleiten, aber mit dem Satz (bzw. dem Beweis dazu) ginge es quasi so, dass man für eine Zahl $q$ dann $q+1$ betrachtet. Dann betrachtet man die Zahl $(q+(q+1))/2=q+(1/2)$, diese erfüllt $q < q+(1/2) < q+1$ und es gilt $q+(1/2) [mm] \in \IQ$. [/mm] Nun nimmt man $q+(1/4)$, dann gilt $q < q+(1/4) < q+(1/2)$ und $q+(1/4) [mm] \in \IQ$ [/mm] etc.
Insgesamt erhält man dann: Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so dass [mm] $|q-(q+(1/2)^n)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
Im Prinzip geht es auch einfacher, dass man sogar irgendeine Nullfolge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] rationaler zahlen hernimmt (sie sollte nur nichttrivial sein, indem Sinne, dass sie nicht ab einem Index identisch $0$ ist) und dann für $q [mm] \in \IQ$ [/mm] dann die Menge [mm] $\{q+r_n: n \in \IN\} \subset \IQ$ [/mm] betrachtet. In jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $q$ findet man dann unendlich viele Elemente aus der Menge [mm] $\{q+r_n: n \in \IN\}$.
[/mm]
Und rationale Zahlen sind insbesondere reelle Zahlen. Wir haben gesehen:
Für jede rationale Zahl gilt:
In jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] dieser Zahl gibt es unendlich viele rationale Zahlen (die ja auch reelle Zahlen sind), das beinhaltet natürlich auch, dass es in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] einer jeden rationalen Zahl unendlich viele relle Zahlen gibt.
Oder ging es Dir darum, zu wissen, warum es auch in jeder Umgebung einer reellen Zahl unendlich viele rationale Zahlen gibt? Das ist ja oben noch nicht mitbewiesen und müßte man sich nochmal überlegen.
Jedenfalls nochmal:
Der Widerspruch ist, dass, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen ein [mm] $x_0 \in \IQ$ [/mm] konvergieren würde, ich dann oben eine rationale Zahl $y [mm] \in \IQ$ [/mm] so angeben könnte, dass es eine [mm] $\varepsilon_0$-Umgebung [/mm] von $y$ gäbe, die nur endlich viele rationale Zahlen enthalten würde.
Das kann aber nicht sein (sogar exemplarisch kann es schon deshalb nicht sein, weil: für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $N=N(\varepsilon)$, [/mm] so dass die (offensichtlich für jedes $N$ abzählbar unendliche) Menge [mm] $\{y+(1/n): n \in \IN_{\ge N}\} \subset \IQ$ [/mm] zudem [mm] $\{y+(1/n): n \in \IN_{\ge N}\} \subset U_{\varepsilon}(y)$ [/mm] erfüllt; wobei [mm] $\IN_{\ge N}:=\{n \in \IN: n \ge N\}$). [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch { [mm] x_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] } = [mm] \IQ. [/mm] Damit ist [mm] (x_n) [/mm] unbeschränkt, kann also nicht konvergieren
(konvergente Folgen sind beschränkt).
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Es ist doch [mm] $\{x_n:\; n \;\in \IN \} [/mm] = [mm] \IQ\,$. [/mm] Damit ist [mm](x_n)[/mm]
> unbeschränkt, kann also nicht konvergieren
>
> (konvergente Folgen sind beschränkt).
das wäre natürlich so ziemlich die eleganteste Art eines Beweises 
Sofern dieser Satz zur Verfügung steht (es ginge auch mit einem Analogon: Wäre die Folge konvergent, so auch Cauchy und damit beschränkt...)
Ich gehe aber mal davon aus, dass dieser Satz noch nicht bewiesen wurde und sie daher direkt über [mm] $\varepsilon-N_\varepsilon$ [/mm] argumentieren sollten.
(Denn wenn der Satz "Konvergente Folgen sind beschränkt" nocht nicht zur Verfügung steht und man diesen erst beweisen müsste, ist der Aufwand ziemlich gleich zu der direkten Argumentation.)
Aber abgesehen davon habe ich hier darauf auch gar nicht mehr geachtet; obwohl ich den Satz bestimmt selbst schon tausendmal herangezogen habe (wenn nicht noch öfter); vielleicht, weil ich direkt gesehen habe, wie es auch anders geht, keine Ahnung?!
Alleine deswegen war es schon gut, dass Du nochmal darauf hingewiesen hast
Gruß,
Marcel
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