Nachweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Fr 04.01.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehend definierte Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] in [mm] \IR [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Grenzwert!
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Aufgabe formal korrekt löse und würde mich über Hilfe freuen.
So habe ich angefangen:
Behauptung:
Mit [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] konvergiert die Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0,5.
[/mm]
Beweis:
Es ist zu zeigen, dass
[mm] \forall \varepsilon>0\ \exists n_{0}\in\IN\ \forall n\ge n_{0}: |\wurzel{n^{2}+n}-n-0,5|<\varepsilon
[/mm]
gilt.
Sei also ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben.
... Nun hört es bei mir auf. Theoretisch müsste ich jetzt doch ein [mm] n_{0} [/mm] suchen, für das der Rest der Aussage gilt, oder? Soll ich so weitermachen, dass ich die Quantoren einzeln auflöse oder gibt es einen Trick, um die Konvergenz einfacher zu zeigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moomann!
Forme diesen Term zunächst um. Das hat zwei Vorteile: Du kannst daraus den Grenzwert ermitteln und der entstehende Term lässt sich besser in das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] einsetzen und "verarbeiten".
Erweitere [mm] $\wurzel{n^2+n}-n$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Fr 04.01.2008 | | Autor: | moomann |
Okay, die binomische Formel habe ich verwendet und erhalte dann den Term
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}, [/mm] an dem der Grenzwert offensichtlich ist. Aber wie genau schreibe ich das nun mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] auf?
Es muss ja gelten:
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}-0.5|<\varepsilon. [/mm] Muss ich nun noch weiter umformen (wenn ja - wohin?) oder kann ich schon sagen, dass die Aussage wahr ist?
Danke schon einmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moomann!
Mache die beiden Brüche innerhalb der Betragsstriche gleichnamig und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir dazu doch einfach mal Diese Aufgabe an.
Wenn du diese Lösung auf deine Frage umformulierst, hast du's
Marius
|
|
|
|
